55. Раскраска графов. Хроматическое число. Алгоритм раскрашивания

56. Планарные графы. Задача укладки графа на поверхность. Примеры планарных графов.

Укладка на поверхности

Пусть σ — произвольная поверхность в трехмерном пространстве.

Граф G, изображенный на поверхности σ, называется уложенным на σ, если его ребра не пересекаются в точках, отличных от вершин.

Граф G укладывается на поверхности σ, если он изоморфен некоторому графу, уложенному на σ.

Свойство графа укладываться на поверхности безусловно зависит от вида этой поверхности. Однако многие поверхности с точки зрения укладки графов ничем не отличаются от плоскости. Принципиально важен следующий случай.

Теорема об укладке графа на сфере

Граф укладывается на сфере тогда и только тогда, когда он планарен.

Укладка графа на торе

После доказательства теоремы об укладке графа на сфере возникает естественный вопрос: существуют ли вообще поверхности, укладка на которых не равносильна планарности? Ответ — да, существуют. Примером такой поверхности является трехмерный тор, который часто называют

«бубликом» (см. рис. 5). За счет наличия «дырки» такой бублик обладает дополнительными возможностями по размещению ребер. На рис. 5 показано, как на торе уложить двудольный граф K3,3, возникающий в задаче о домах и колодцах (невидимые линии проведены пунктиром).

57.Теорема о раскарске планарных графов

Лемма 1. Для любой геометрической реализации на плоскости связного планарного графа с q рёбрами выполняется равенство:

где суммирование ведётся по всем граням (включая внешнюю).

Следствие. В любом связном планарном графе G = (V, E) без петель и кратных рёбер с p ≥ 3 вершинами и q рёбрами справедливо неравенство: q ≤ 3(p – 2).

Определение 1. Подмножество V1 ⊆ V вершин графа G = (V, E) называется независимым, если никакие две вершины из V1 не соединяются ребром.

Определение 2. Пусть есть некоторое множество C = {C1, C2, …, Cm} — множество цветов. Тогда раскраской графа G = (V, E) (вершинной) называется любое отображение φ: V → C. Раскраска называется правильной, если для любого цвета вершины этого цвета образуют независимое множество.

Лемма 2. В планарном графе без петель и кратных рёбер существует вершина v:

deg v ≤ 5. 22

Теорема 10. Вершины любого планарного графа можно правильно раскрасить в не более чем 5 цветов.