1.14,1. Метод законов Кирхгофа.

Используя первый и второй законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число независимых уравнений и путем их совместного решения найти все подлежащие определению величины, например токи. Решая совместно уравнения, можно установить также зависимость между какими-либо величинами: между током и ЭДС, между двумя токами и т. д.

Перед составлением уравнений необходимо показать на схеме положительные направления известных и неизвестных величин. Сначала следует составить более простые уравнения по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узловых точек. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.

В качестве примера составим схему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рис. 1.13

. Будем считать, что ЭДС и напряжения с их направлениями, а также сопротивления известны. Поскольку данная цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами, необходимо составить пять уравнений. Выбрав положительные направления токов I₁, I₂, I₃, I₄ и I₅, для узлов а и б, а также для контуров агда, абга и бвгб при обходе последних по часовой стрелке получим.

I₁ - I₃ + I₄ = 0;     - I₂ -I₄ + I₅ = 0;      - Е₁ = - I₁ (r₁ + r₀₁)- I₃r₃ - U₁;  Е₁ - Е₂ = I₁ (r₁ + r₀₁) + I₂ (r₂ + r₀₂) - I₄r₄;    Е₂ == - I₂ (r₂ + r₀₂) - I₅r₅ + U₂.

Вопрос №5. Сложные цепи с несколькими источниками энергии и их расчет.

б) метод контурных токов;

 Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом законов Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно.

Дадим обоснование указанного метода.

Любая разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких смежных контуров. Например, в электрической цепи рис, 1.14 таких контуров три: абвга, бдвб и аедба. Каждый контур имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру, и смежные ветви, принадлежащие также соседним контурам. Так, контур абвга имеет несмежную ветвь вга и две смежные ветви аб и бв.

Допустим, что в каждом контуре рис. 1.14 имеется некоторый контурный ток, одинаковый для всех элементов контура. На ряс. 1,14 контурные токи обозначены I_I, I_II и I_III. Положительные направления контурных токов могут быть выбраны произвольно. Наложим на контурные токи следующее условие: контурные токи должны быть равны по абсолютному значению токам несмежных ветвей соответствующих контуров.

Если удастся найти контурные токи, то через них легко определять и токи всех ветвей. В силу наложенного условия токи несмежных ветвей следует определять так. Если выбрать положительное направление тока несмежной ветви совпадающим с контурным током, то ток ветви должен быть равен контурному току. Если же направить ток несмежной ветви против контурного тока, то он должен быть равен контурному току со знаком «-». Так, токи в несмежных ветвях цепи (рис. 1.14) будут равны

I₁ = I_I , I₃ = - I_II, I₆ = - I_III.

Чтобы выяснить, как определять токи смежных ветвей, выразим ток I₂ через токи I₁ и I₃ и заменим последние контурными токами: I₂ = I₁ + I₃ = I_I — I_II. Аналогично найдем

I₄ = I_I - I_III,  I₅ = I_III - I_II

Как видно, со знаком « + » должен быть взят тот контурный ток, направление которого совпадает с направлением тока смежной ветви; контурный ток, направленный в противоположную сторону, должен быть взят со знаком «-».

Нетрудно доказать, что контурные токи могут быть определены путем совместного решения системы уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, в которые вместо падений напряжения от токов ветвей следует ввести падения напряжения от контурных токов с соответствующими знаками.

Уравнение по второму закону Кирхгофа при включении внего контурных токов в общем случае имеет вид

(1.36)

ΣE = ΣI_k r + ΣU_k .

Для рассматриваемой цепи (рис. 1.14) уравнения будут:

Е₂ = - I₁r₀₂ + I_II(r₀₂ + r₃ + r₅) - I_IIIr₅ + U;  Е₁ - Е₂ - I₁(r₀₁ + r₀₂ + r₄) - I_II r₀₂ - I_IIIr₄; 0 = I_III (r₄ + r₅+ r₆)- I_Ir₄ - I_IIr₅.

При решении задач рассмотренным методом целесообразно выбирать положительные направления токов ветвей после определения контурных токов. В этом случае можно выбрать положительные направления токов ветвей так, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Вопрос № 6. Метод узлового напряжения. Метод узлового напряжения дает возможность весьма просто произвести анализ и расчет электрической цепи, содержащей несколько параллельно соединенных активных и пассивных ветвей, например цепи, схема которой изображена на рис 1.15,а.

Пренебрегая сопротивлением проводов, соединяющих ветви цепи, схему рис. 1.15, а можно заменить более удобной для рассмотрения (рис. 1.15,б).

В зависимости от значений и направлений ЭДС и напряжений, а также значений сопротивлений ветвей между узловыми точками а и b установится определенное узловое напряжение U_ab . Предположим, что оно направлено так, как показано на рис. 1.15, и известно. Зная напряжение U_ab , легко найти все токи.

Выберем положительные направления токов, например так, как показано на рисунке. Тогда по второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по первой ветви,

Рис. 1.15. К пояснению метода узлового напряжения

Е₁ = I₁ (r₁ + r₀₁) + U_ab,

откуда

(1.37)

I1 =	Е1 - Uab	= (Е1 - Uab)g1.
	r1 + r01

Поступая аналогичным способом,  нетрудно получить формулы для токов I₂, I₃ и I₄:

(1.38)

I₂ = (Е₂ + U_ab)g₂,    I₃ = (U₁ - U_ab )g₃,    I₄ = (U₂ + U_ab)g₄.

По закону Ома для пятой ветви

(1.39)

I₅ = U_ab /r₅ = U_ab g₅.

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение U_ab , напишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а:

I₁ - I₂ + I₃ - I₄ - I₅ = 0.

После замены токов их выражениями (1.37) - (1.39) и преобразований получим

Uab =	Е1g1 - Е2g2 + U1g3 - U1g4	,
	g1 + g2 + g3 + g4 + g5

Формула узлового напряжения в общем случае имеет вид

(1.40)

Uab =	ΣЕg + ΣUg	.
	Σg

Перед определением напряжения по формуле (1.40) следует задаться его положительным направлением. Со знаком « + » в(1.40) должны входить ЭДС, направленные между точками а и bвстречно напряжению U_ab и напряжения ветвей, направленные согласно с U_ab. Знаки в формуле (1.40) не зависят от направления токов ветвей.

При анализе и расчете электрических цепей методом узлового напряжения целесообразно выбирать положительные направления токов после определения узлового напряжения. В этом случае положительные направления токов нетрудно выбрать таким образом, чтобы все они совпадали с их действительными направлениями.

Пример 1.3. В электрической цепи рис. 1.15, б Е₁ = 40 В, Е₂ = 20 В, r₀₁ = r₀₂ = 1 Ом, r₁ = 9 Ом,r₂ = 39 Ом, r₃ = 10 Ом, r₄ = 30 Ом, r₅ = 15 Ом, U₁ = 45 В, U₂ = 30 В.

Пользуясь    методом    узлового    напряжения,    определить    токи в ветвях.

Решение. По формулам (1.37) — (1.40) при указанных положительных направлениях напряжения U_ab и токов

Uab =	Е1/(r1 + r01) - Е2/(r2 + r02) + U1/r3 - U2/r4	= 21,54 B;
	l/(r1 + r01) + l/(r2 + r02) + 1/r3 + l/r4 + 1/r5

I₁= (Е₁ - U_ab /(r₁ + r₀₁) ≈ 1,85 A, I₂ = (E₂ + U_ab )/(r₂ + r₀₂ ) = 1,04 A;  I₃ = (U₁ - U_ab)/r₃ = 2,35 A;  I₄ = (U₂ + U_ab )/r₄ = 1,72 A;    I₅ = U_ab /r₅ = 1,44 A

Вопрос №7. Электрические цепи однофазного синусоидального тока. Основные определения и получение синусоидального тока.

Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное.

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени.

В линейной электрической цепи при действии периодических э.д.с. с одинаковым периодом Т устанавливаются во всех участках цепи периодические токи и напряжения с тем же периодом.

Частота f – число периодов (колебаний) в единицу времени:

(2.1)

Наибольший интерес представляют периодические э.д.с., напряжения и токи, являющиеся синусоидальными функциями времени:

рис. 2.1

Для получения в линейных цепях синусоидально изменяющихся токов необходимо, чтобы э. д. с. также изменялись по синусоидальному закону. Рассмотрим процесс возникновения синусоидальной э. д. с. Простейшим генератором синусоидальной э. д. с. может служить прямоугольная катушка (рамка), равномерно вращающаяся в однородном магнитном поле с угловой скоростью ω (рис. 2.1, б). Пронизывающий катушку магнитный поток во время вращения катушки abcd наводит (индуцирует) в ней на основании закона электромагнитной индукции э. д. с. е. Нагрузку подключают к генератору с помощью щеток 1, прижимающихся к двум контактным кольцам 2, которые, в свою очередь, соединены с катушкой. Значение наведенной в катушке abcd э. д. с. в каждый момент времени пропорционально магнитной индукции В, размеру активной части катушки l = ab + dc и нормальной составляющей скорости перемещения ее относительно поля v_н:

e = Blv_н          (2.1)

где В и l - постоянные величины, a v_н - переменная, зависящая от угла α. Выразив скорость v_н через линейную скорость катушки v, получим

e = Blvsinα          (2.2)

В выражении (2.2) произведение Blv = const. Следовательно, э. д. с., индуцируемая в катушке, вращающейся в магнитном поле, является синусоидальной функцией угла α.

Если угол α = π/2, то произведение Blv в формуле (2.2) есть максимальное (амплитудное) значение наведенной э. д. с. E_m = Blv. Поэтому выражение (2.2) можно записать в виде

e = E_msinα          (2.3)

Так как α есть угол поворота за время t, то, выразив его через угловую скорость ω, можно записать α = ωt, a формулу (2.3) переписать в виде

e = E_msinωt          (2.4)

где е - мгновенное значение э. д. с. в катушке; α = ωt - фаза, характеризующая значение э. д. с. в данный момент времени.

Необходимо отметить, что мгновенную э. д. с. в течение бесконечно малого промежутка времени можно считать величиной постоянной, поэтому для мгновенных значений э. д. с. е, напряжений и и токов i справедливы законы постоянного тока.

Вопрос №8. 2. Действующее и среднее значения синусоидального тока.