26.Примеры разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

Приближенное вычисление Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают.

В частых случаях, когда ОДУ не решается в общем виде, решить задачу Коши для него можно приближенно, в виде первых нескольких членов разложения решения в ряд Тейлора (в окрестности данной точки)

27.Разложение ф-ии в ряд Фурье. Периодическое продолжение, четное, нечетное. Ряд Фурье Функциональный ряд членами которого являются синусы и косинусы от кратных значений аргумента, называется тригонометрическим рядом.

Здесь l > 0 – произвольное число; a0, am, bm (m=1, 2, 3) – постоянные коэффициенты ряда. Так как все члены тригонометрического ряда синусы и косинусы углов, кратных , то их сумма S(x), если она существует, является периодической функцией от х с периодом 2l: S(x) = S(x + 2l). Естественно, возникает задача: нельзя ли представить всякую периодическую функцию в виде тригонометрического ряда.

Рядом Фурье для функции f(x) в интервале [–l, l] называется тригонометрический ряд вида (54) с коэффициентами ряда am, bm, вычисленными по формулам Фурье:

28.Классическое определение вероятности. Статическое определение вероятности. Вероятностью события А –называют отношение вида: Р(А)=m/n , где Р(А)-вероятность наступления события А, n-число всех возможных элементырных исходов , образующих группу , попарно несовместных событий, m- число исходов , благоприятных для наступления события А. Из фор-лы очевидно ,что вероятность события 0≤Р(А)≤1. Вероятность Р(V)=0 (0%), Р(U)=1 (100%). Это определение называется классическим определением вероятности. 0<Р(А)<1.

Пусть данный опыт (испытания) при одних и тех же условиях повторяется N-раз серия испытаний и событие А наступило М –раз , тогда величина N(А)=M/N – называется относительной частотой события А. При увеличении числа испытаний N- относительная частота W(A) –приближается к вероятности Р(А).W(A)->Р(А),- закон больших чисел: при n->∞ W(A)≈P(A).

29.Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события. События можно складывать и умножать. Если происходит хотя бы 1 из событий или А или В ,то геометрическое объединение событий (А+В). Если происходят и А и В –одновременно, то говорят о произведении событий геометрическое пересечение (A*В). Сложение событий. Если события А и В –несовместные, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей событий А и В. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Если события А и В –совместные , то справедлива формула: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). Если события А и В-независимы, то вероятность их произведения вычисляется как произведение вероятностей событий, т.е. Р(А*В)=Р(А)*Р(В). Если события зависимые, то возникает понятие условной вероятности, Р(А*В)=Р(А)*Ра(В),где Ра(В)-условная вероятность (вероятность наступления наступления события В при условии, что событие А уже произошло). Следствие: А и Ᾱ-противоположные события, то справедливы утверждения: Р(А)=1-Р(Ᾱ); Р(Ᾱ)=1-Р(А); Р(А)+Р(Ᾱ)=1.

Вероятность появления хотя бы одного события из А1,А2,А3…Ак…-вычисляется по формуле: Р(А)=1-Р(Ᾱ1)*Р(Ᾱ2)…Р(Ᾱк).

30.Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из соытий Н1,Н2,…,Нn, которые образуют полную группу событий. А=Н1*А+Н2*А+…+НnА. События Н1,Н2,…,Нn-называются гипотезами, т.к. заранее неизвестно какое из этих событий произойдёт в конкретном испытании, тогда вероятность события А находится по фор-ле полной вероятности. Р(А)=P(H₁) , где - условные вероятности наступления события A при условии появления одного из гипотез H_i. Допустим, что в рез-те испытания событие A произошло, тогда переоценку вероятности гипотез H_i можно сделать по формулам: P_A(H_i)= ; P(A)- полная вероятность. P_A(H_i)= - i=1…n формула Байеса.

31.Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где C_n^k - число сочетаний, q = 1 − p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

Локальная теорема Лапласа.Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

при x=(k-np)/√npq Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна  , где x=(k-np)/√npq

Интегральная теорема Лапласа.

Пусть производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<p<1). Как вычислить вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема. (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

 - интегральная функция Лапласа.

Формула Пуассона. Если вероятность P наступления cобытия A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n  достаточно велико, то вероятность наступления события A ровно m раз приближенно равна

где  .

32.Закон распределения, ф-ия распределения дискретной случайной величины, свойства ф-ии распределения. Нормальным  называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности. Нормальный закон распределения также называется  законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Можно легко показать, что параметры  и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x. F(x) = P(X < x). Функция F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x. Свойства функции распределения: 1) значения функции распределения принадлежат отрезку  [0, 1]. 2) F(x) – неубывающая функция. При 3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале. 4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице. 5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.