1.ДУ I-го порядка. Общ. и част. решения. Задача Коши. Теорема сущ. единственности решения зада- чи Коши. ДУ I-го порядка F(x,y,y’)=0. Если в данном ур-ний выразить произ- водную (y’) то пол- учим ур-ние вида y’=f’(x,y) к/е наз-ся диф. уравнение разложенным относительно y’. ДУ I-го порядка имеет бесчисленное множество решении к/е оп-ся форму- лой содержащей произ- водную постоянную. Опред: общим решением (общ. интегралом) ДУ I порядка называется ф-ия y=y(x,C) к-ая при любом значении «C» удовлетво- ряет уравнению. Опред: Частным решением (час. интеграл) наз-ся решение получаемое из общего при конкретном значении постоянном «С». График любого частного реш-ия диф ур-я наз-ся интеграль- ной кривой. Общему реш-ию соответсвует семейство интегральных кривых. y(x₀)=y₀<=>{ . Нахождение частного р-ия по заданным начальным уславиям наз-ся задачей Коши. Укажем достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши    .

2.ДУ ур-я с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Рассмотрим диф-е ур-е вида y’=f(ax+by+c) данное ур-е можно преобразовать к ур-ию с разделяющимися пере-менными с помощью замены z= ax+by+c где z неизвестная ф-ия. z’=( ax+by+c)’=a+by’ выразим y’= подставляем в исходное ур-е ; z’=f(z)b+a ;

вычисляя интегралы получим общее решение диф. ур-я.

3.ДУ I-го порядка, однородные относительно x и y, и приводящиеся к ним. f(x,y) – наз-ся однородной ф-ей если при умножении пере- менных x и y на произвольный параметр t значение ф-ии не изменится. Диф-е ур-е вида y’=f(x,y) будет яв-ся однородным если ф-я f(x, y) однородная ф-я. Однородное диф ур-е можно преобразовать к виду y’= ( ). Для решения данного ур-я необходимо сделать замену y=xz, где z неизвестная ф-я. y’=x’z+xz’=> y’=z+xz’ z= ; z+xz’= ; xz’= -z; z’= ; ; Свели однородное ур-е к ур-ю с раздельными перемен- ными. в рез-те пол-ем общее решение. Диф-е ур-е вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 будет однородным если ф-ии M(x,y) и N(x,y) – однородные.

4.ДУ I-го порядка, линейные относительно неизвестной функции её производной. ДУ I-го порядка наз-ся линейным если оно содержит ф-ю y и её производную y’ в первой степени и не содержит произведений y на y’. Линейное ур-е имеет вид: y’+p(x)y=f(x) Для решения данного ур-я необходимо сделать замену y=u(x)*v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные ф-ии y=uv; y’=u’v+uv’; u’v+uv’+p(x)uv=f(x); v(u’+p(x)u)+uv’=f(x). Пусть 1) выражение (u’+p(x)u)=0, тогда 2) uv’=f(x). Таким образом свели лин-е ур-е к 2м ур-ям с разделяющимися переменными решая к-е по порядку (1,2) получим неизвестные ф-ии u и v которые подставляя в y дадут общее решение.

5.метод Бернулли нахождение общего решения ДУ I-го порядка, линейного относительного неизвестной ф-ии и ее производной. Некоторые диф ур-я могут быть приведены к линейным ур-ям с помощью преобразований. К ним относится ур-е Бернулли вида: y’+p(x)*y=f(x)*gⁿ; при n=1 ур-е Бернулли становится ур-ем с разделяющимися переменными; при n=0 приволится к линейному ур-ю. в остальных случаях так же с помощью замены его можно привести к линейному виду, а метод решения такой же как и для линейного ур-я.

6.ДУ в полных дифференциалах. Диф ур-е вида P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 яв-ся ур-ем полных диф-ов если ф-ии P(x,y) и Q(x,y) удовлетворяют условию в этом случае общее решение диф-го ур-я F(x,y)=0 находится по формуле F(x,y)= =C. Интегрирующий множитель: если в ур-е P(x,y) и Q(x,y) не удовлетворяют условию но можно подобрать множитель M(x,y) такой чтобы прии умножение данное условие стало выражаться M(P(x,y)dx+ Q(x,y)dy)=dF(x,y). Тогда общ. решение такого ур-я находится так же как и в предыдущем случае.

7.ДУ высших порядков. Общие и частные решения. Задача Коши. Теорема сущ. един- ственности решения зада- чи Коши. ДУ II-го порядка умеет вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Если оно разрешено относительно производной приводится к виду y’’=f(x,y,y’). Общим решением ДУ II порядка наз-ся ф-я y=y(x,C₁,C₂) которая при подставлении в ур-е при любых значениях постоянных C₁ и C₂ превращает его в тождество. Частным решением ДУ II порядка наз-ся решение получаемое из общего при конкретных значениях постоянных C₁ и C₂. График решения ДУ II порядка наз-ся интегральной кривой данного ур-я. частное решение ДУ II порядка нах-ся из общего решения с помощью начальных условий: . Начальные условия позволяют найти значение постоянных C₁ и C₂. Задача отыскания частного решения наз-ся задачей Коши. Для ДУ II порядка задача Коши состоит в том, чтобы найти интегральную кривую проходящую через заданную точку M₀(x₀,y₀) в заданном направлении y₀’. Теорема сущ. и единственности решения. Если ф-я f(x,y,y’) ф-я трех независимых перемен- ных непрерывна в области содержащей точку M₀(x₀,y₀,y₀’) то ДУ: y’’=f(x,y,y’) имеет решение y=y(x) удовлетворяющее условиям y(x₀)=y₀; y’(x₀)=y₀’ кроме того если непрерывны частные производные то решение единственное.

8.ДУ допускающие понижение порядка. 1) тип ур-ний y’’=f(x)-если правая часть содержит функцию y и её производную y’ по определению 2-х производных y’’=(y’)’= ; ; ; y’= +C₁; y’= ; ; dy=( )dx; ; y= y= Вычисляя интеграл находим общее решение. 2) тип ур-ний y’’=f(x,y’) – правая часть ур-ний не содержит явным образом функцию y. В этом случае для понижения порядка делаем подстановку y’=P(x) где P(x) неизвестная ф-ия y’’=P’(x). P’=f(x,p); P’= ; dp=f(x,p)dx. Интегрируя ур-я находим сначала p затем делая обратную замену p на y’ и интегрируя полученное ур-е находим общее решение. 3) тип ур-ний y’’=f(x,y,y’) – правая часть не содержит явным образом аргумент x. Для понижения порядка делаем замену y’=P(y); y’’=P ; P =f(y,P) интегрируя понижаем порядок ур-я и после обратной замены находим общее решение.

9. Линейные ДУ (ЛОДУ) 2-го порядка. Свойства решений ЛОДУ 2-го порядка. ДУ 2-го порядка называется линейным, если оно содержит функцию y, её производные y’ и y’’ и не содержит их произведений. Линейное уравнение имеет вид: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). Если правая часть уравнения = 0, то уравнение называется однородным, а если не равно 0, то неоднородным. ЛОДУ обладает следующими свойством: если y₁(x) и y₂(x) – два решения этого уравнения, то их линейная комбинация y=C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x) так же является решением однородного уравнения. 10. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ 2-го порядка. Для доказательства необходимо 2-а раза продифференцировать это выражение и подставить y’ и y’’ в левую часть однородного уравнения. В результате должно получиться тождество. 2-а решения ЛОДУ y₁(x) и y₂(x) называется линейно зависимыми, если их отношение равно постоянному числу. y₁(x)/y₂(x)=const, если же не равно const, то решение линейно независимо. Сумма 2-х линейно независимых решений ЛОДУ составляет общее решение этого уравнения, таким образом y_одн=С₁*y₁(x)+C₂*y₂(x).

11. Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка. Свойства решений ЛНДУ. Теорема о структуре общего решения ЛНДУ. Для ЛНДУ y’’=p(x)y’+q(x)y=f(x) справедлива следующая теорема: общее решение ЛНДУ равно сумме общих решений соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения исходного неоднородного уравнения. y’’+p(x)y’+q(x)y=0. Общее решение ЛНДУ: y_одн=C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x)

y=y_одн+y*, где y*-частное решение ЛНДУ(структура общего решения ЛНДУ).

12. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения ЛНДУ 2-го порядка. Метод неопределённых коэффициентов применим только в тех случаях, когда правая часть ЛНДУ f(x) является либо многочленом, либо показательной функцией, либо тригонометрической функцией (sin и cos). В тех случаях когда правая часть другая применяется метод вариации произвольных постоянных. Пусть дано ЛНДУ y’’+py’+qy=f(x) c постоянными коэффициентами. Запишем соответствующее ЛОДУ: y’’+py’+qy=0 и пусть общее решение ЛОДУ имеет вид y_одн=C₁*y₁(x)+C₂*y₂(x), где y₁(x) и y₂(x) – два линейных независимых решения, С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Заменим в общем решении С₁ и С₂ неизвестными функциями С₁(х) и С₁(х) и будем искать частное решение исходного ЛНДУ в виде: у*=С₁(х)*у₁(х)+ С₂(х)*у₂(х), где у₁ и у₂ – решения соответсующего ЛОДУ, а С₁ и С₂ – функции неизвестных. Если у* является решением ЛНДУ, то при подставлении в правую часть ЛНДУ у*, (у*)’, (y*)’’ должно получится тождество. Дифференцируем 2 раз у*. (y*)’=C₁’(x)*y₁(x)+C₁(x)*y₁’(x)+C₂’(x)*y₂(x)+C₂(x)*y₂’(x)=(C₁’(x)*y₁(x)+C₂’(x)*y₂(x))+C₁(x)*y₁’(x)+C₂(x)*y₂’(x). Выберем функции C₁(x) и С₂(Х) таким образом, чтобы сумма, стоящая в скобках была равна 0. С₁’(x)*y₁(x)+C₂’(x)*y₂(x)=0. В результате (y*)’=C₁(x)*y₁’(x)+C₂(x)*y₂’(x); (y*)’’=C₁’(x)*y₁’(x)+C₁(x)*y₁’’(x)+C₂’(x)*y₂’(x)+C₂(x)*y₂’’(x). C₁’(x)*у₁’(x)+С₁(х)*y₁’’(x)+C₂’(x)*y₂’(x)+C₂(x)*y₂’’(x)+p(C₁(x)*y₁’(x)+C₂(x)*y₂’(x))+q(C₁(x)*y₁(x)+C₂(x)*y₂(x))=f(x)C₁(x)*(y₁’’(x)+py₁’(x)+qy₁(x))(скобка равна 0)+С₂(х)(у₂’’(x)+py₂’(x)+ qy₂(x))(скобка равна 0)+С1’(x)*y1’(x)+C2’(x)*y2’(x)=f(x). Так как y1(x) и y2(x) являются решениями ЛОДУ, то

С1’(x)*y1(x)+C2’(x)*y2(x)=0

C1’(x)*y1’(x)+C2’(x)*y’(x)=f(x)

y*=C1(x)*y1(x)+C2(x)*y2(x)

Таким образом для того чтобы найти функции С1(х) и С2(х) необходимо решить вышестоящие уравнения. Найти С1’(х) и С2’(x). Затем их проинтегрировать, найти C1(x) и С2(x) и подставить в частное решение y’.

13. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение фундаментальной системы решений.

Пусть необходимо найти общее решение y’’+py’+qy=0, где p и q – const. Общим решением такого ур-ия будет функция y=C1*y1+C2*y2, где у1 и у2 – линейные независимые решения. Для нахождения частных решений y1 и у2 используем следующий метод: предположим, что у=e^kx, где k=const является частным решением ур-ия. Найдём производные у’=k*(e^kx) и y’’=k^2*e^kx и подставим в исходное уравнение. k^2*e^kx+p*k*e^kx+q*e^kx=0; e^kx*(k^2+p*k+q)=0. Подберём условие при котором это равенство выполняется, так как e^kx не равна 0, то k^2+p*k+q=0 – характеристическое уравнение по отношению к однородному уравнению. Получим квадратное уравнение при решении которого возможны следующие случаи: 1)корни уравнения действительные и различные(k1 не равно k2 и принадлежит R(Д больше 0), в этом случае e^k1x и e^k2x линейно независимые. e^k1x/e^k2x=e^(k1-k2)x не равно const, поэтому общее решение однородного уравнения можно записать: y(одн)=C1*e^k1x+C2*e^k2x. 2)k1=k2=k принадлежит R. В этом случае общее решение ЛОДУ записывается в виде y=C1*e^kx+C2*x*e^kx, то есть для второго частного решения добавляется множитель х. Решение линейно независимо. (х*e^kx)/e^kx=0 не равно const. 3)корни характеристического уравнения комплексные(комплексно-сопряжённые). k1=альфа+бета*i и k2=альфа-бета*i. Тогда решение однородного уравнения и имеет вид y=(e^альфа*x)*(C1*cos(бета*х)+C2*sin(бета*x).

14. ЛНДУ с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод неопределённых коэффициентов нахождения частного решения ЛНДУ. Пусть необходимо найти общее решение неоднородного уравнения y’’+py’+qy=0. Известно, что общее решение ЛНДУ находится как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения ЛНДУ. у=у(о)+у*. Рассмотрим способ отыскания у* методом неопределённых коэффициентов. Данный метод позволяет находить частное решение ЛНДУ, если известна структура этого решения, зависящая от структуры правой части ЛНДУ f(x). 1)если правая часть ЛНДУ f(x)=P(x), гду P(x) – многочлен некоторой степени переменной x, то у* необходимо искать в виде: а)у*=Q(x), если число 0 не является корнем характеристического ур-ия; б)у*=xQ(x), если 0 является однократным корнем ур-ия; в)у*=x^2*Q(x), если 0 – двухкратный корень характеристического уравнения; Q(x) – многочлен той же степени, что и P(x), только с неизвестными коффициентами. 2)правая часть ур-ия представляет собой показательную функцию А*(е^альфа*x)=F(x), где A и альфа=const. Тогда у* ищем в виде: а)у*=B*(e^альфа*х), если число альфа не является корнем характеристического уравнения; б)y*=B*x*(e^альфа*х), если альфа – однократный корень характеристического ур-ия; в)у*=В*(х^2)*(е^альфа*х), если альфа – двукратный корень характеристического уравнения. 3)правая часть уравнения имеет вид f(x)=(e^2x)(Acos(бета*х)+Вsin(бета*х)); альфа+-бета*i, тогда у*ищем в виде: а)y*=(e^альфа*x)*(A1cos(бета*х)+В1sin(бета*х)), если альфа+-бета*I не является корнями характеристического ур-ия; б)y*=x*(e^альфа*х)*(A1cos(бета*х)+В1sin(бета*х), если альфа+-бета*i – корни характеристического уравнения. 4)правая часть ур-ия имеет вид: f(x)=(e^альфа*х)*(P(x)cos(бета*х)+Q(x)sin(бета*х)), где P и Q – многочлены, тогда у* в ищем виде: а)у*=(e^альфа*х)*(P1(x)*cos(бета*х)+Q1(x)*sin(бета*х)), если альфа+-бета*i не являются корнями характеристического уравнения; б)у*=х*(е^альфа*х)*(P1(x)*cos(бета*х)+Q1(x)*sin(бета*х), если альфа+-бета*I – корни характеристического ур-ия, где P1(x) и Q1(x) – многочлены той же степени что и степень из многочлена. 5)если правая часть ЛНДУ представляет собой сумму 2-х функций f(x)=f1(x)+f2(x), где f1 и f2 относятся к одному из предыдущих 4 типов, то у* так же ищем в виде суммы 2-х решений у*=у1*+у2*, где у1* - правая часть f1(x), а у2* - левая часть f2(x).

15. ДУ n-го порядка. Решение ЛДУ с постоянными коэффициентами любого порядка производятся аналогично решению ур-ий 2-го порядка. Пусть необходимо найти общее решение ур-ия у(n-го порядка)+p1*y(n-1-го порядка)+…*pn*y=0, где p1 и p2 … pn – постоянные числа. Данное уравнение называется ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляется соответсвующее характерестическое уравнение. k^n+p1*k^n+…+pn-1^k+pn=0. Если все корни характеристического уравнения действительные и различные, то есть k1 не равно k2 не равно kn принадлежит R, то общее решение ЛОДУ записывается в виде: у(одн)=С1*(e^k1*x)+C2* (e^k2*x)+…+Cn*(e^kn*x). Если корни повторяются, то к кратным корням будет соответствовать часть решения: у(одн)=С1*(e^k*x)+C2*x*(e^k*x)+C3*x^2*(e^k*x). К каждой паре комплексных корней альфа+-бета*i будет соответсвовать часть решения вида: у(одн)=(e^альфа*х)*(С1*cos(бета*х)+С2*sin(бета*х). Аналогично решается ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэфициентами.

16. Системы ДУ уравнений. Рассмотрим систему 2-а линейных ЛДУ 1-го порядка с постоянными кофициентами.

dx/dt=a1*x+b1*y+фи1(t)

dy/dt=a2*x+b2*y+фи2(t), где t – аргумент, фи1(t) и фи2(t) – заданные функции, a1, b1, a2, b2 – const, x(t) и y(t) – искомые функции. Данная система может быть приведена к одному ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Продефференцируем обе части первого ур-ия системы по аргументу t: (d^2)x/dt^2=a1*(dx/dt)+b1*(dy/dt)+фи1’(t). Подставим dy/dt из второго ур-ия системы: (d^2)x/dt^2=a1*(dx/dt)+b1*(a2*x+b2*y+фи2(t))+фи1’(t)=a1*dx/dt+b1*a2*x+b1*b2*y+b1*фи2(t)+фи1’(t). Из первого ур-ия системы выразим у: у=(1/b)*((dx/dt)-a1*x-фи1(t)). Подставляем вместо у: (d^2)x/dt^2=a1*(dx/dt)+b1*a2*x+b1*b2*(1/b1)*((dx/dt)-a1*x-фи1(t))+b1*фи1’(t)=a1*(dx/dt)+b1*a2*x+b2*(dx/dt)-a1*b2*x-фи1(t)*b2+b2*фи2(t)+фи1’(t);

((d^2)x/dt^2)-(a1+b2)*(dx/dt)+(b2*a1-b1*a2)*x=b1*фи2(t)-b2*фи1(t)+фи1’(t) больше f(t);

((d^2)x/dt^2)+p*(dx/dt)+q*x=f(t);

xt’’=p*xt’+q*x=f(t). Решая полученное уравнение 2-го порядка находим общее решение х=х(t,C1,C2), затем подставляя в у находим у=у(t,C1,C2).

17.Числовой ряд. Если числа а₁,а₂…а_n образуют бесконечную числовую последовательность, то выражение вида а₁+а₂+…+а_n= называют числовым рядом.

Числа а₁,а₂…а_n называют членами ряда а_n-общий член ряда, является функцией от n.

Если известно аналитическое выражение этой функции, то задавая n последовательно значение 1,2,3 и т.д. можно найти сколько угодно членов ряда, сумма n –первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда Sn=а₁+а₂+…+а_n. Частная сумма Sn является переменной величиной, т.е. функцией натурального числа n.

S1=a1

S2=a1+a2

Sn=a1+a2+…+an

Если бесконечная послед-ть частичных сумм S1,S2,Sn имеет конечный придел S =S, то в этом случае ряд сходится, число S называется суммой сходящегося ряда. Если частичная сумма Sn не имеет конечного предела при , то ряд называется расходящимся. Если ряд сходится и его сумма равна S, то разность S-Sn называется n-ым остатком ряда, обозначается Rn=a_n+1+a_n+2+…

Геометрический ряд Sn= , |q|<1 сходится, |q|>=1 расходится.

Гармонический ряд расходится .

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то общий член ряда a_n стремится к нулю, ряд сходится , если необходимый признак не выполняется, то ряд расходится.

Основные св-ва сходящихся рядов.

Если ряд а₁+а₂+…+а_n сходится и имеет сумму S, то его можно почленно умножить на одно и тоже число С-const, при этом получится ряд: Ca1+Ca2+…+Can=CS.

Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать а₁+а₂+…+а_n А, b₁+b₂+…+b_n B; (а₁+b1)+(а2+b₂)… , (а₁-b1)+(а2-b₂)… .

Если рад сходится, то сходится и ряд полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа его членов.

Достаточные признаки сходимости.

Признак сравнения. Пусть даны 2 ряда с положительными членами а₁+а₂+…+а_n(1), b₁+b₂+…+b_n(2). И выполняется условие: члены первого ряда не превосходят соответствующих членов следующего ряда a_i<b_i, тогда справедливы следующие утверждения, если больший ряд сходится, то и меньший ряд сходится 2(сх) 1(сх), если меньший ряд расх., то и больший ряд расх. (1)расх (2)расх.

Признак сравнения. Если при существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов первого и второго ряда , то эти ряды одновременно сх-ся и расх.

18. Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов (Признак сходимости Каши).

Пусть дан ряд с положительными членами где a_i>=0 если ф-я f(x)(1;+ ) явл. непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то числовой ряд где a_n=f(n) сходится, если сходится несобственный интеграл и ряд расходится если соответствующий несобственный интеграл расходится.

19. Признак сходимости Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами а₁+а₂+…+а_n, если существует =L, то возможны следующие случаи: а) при L<1 сх., б) при L>1 расх. В) при L=1 о сходимости ряда ничего сказать нельзя, требуется исследование с помощью других признаков (например сравнения).

20. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Если любые два рядом стоящих члена ряда имеют противоположные знаки, то такой ряд называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Если члены знакочеред-ся ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремится к нулю при , то ряд сходится и его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого члена ряда: 1) |а₁|>|а₂|>…>|а_n|, 2) =0.

21.Знакопеременные ряды. Признак абсолютной сходимости. Понятие условной сходимости. Если среди членов данного ряда есть положительные так и отрицательные (причем тех и других неограниченное кол-во), то такой ряд называется знакопеременным.

Признак абсолютной сходимости. Пусть дан ряд с членами произвольных знаков (1) а₁+а₂+…+а_n и составим ряд из абс-х величин членов исходного ряда (2) |а₁|+|а₂|+…+|а_n|. Исходный ряд (1) называется абс-о сходящимся если сходится как сам ряд так и ряд из абсолютных величин (2).

(1)Абс. Сходится (2) сходится

(1)Усл. Сх-ся если сам ряд сходится а ряд из абсолютных величин расходится

(1)Усл. Сх-ся (2)расх

22.Функциональные ряды. Основные понятия. Область сходимости. Сумма функционального ряда. Функциональным рядом называется выражение состоящее из этих функций

U₁(X)+ U₂(X) +… U_n(X)…. Σ U_n(X). Функциональный ряд при одних значениях параметра x может оказаться сходящимся а при других расходящимся числовым рядом.Если ф-ый ряд сх-ся при X=X₀ ,то ряд сх-ся в точке X₀ . Область сходимости-совокупность всех значений переменной X при которых этот ряд сх-ся.

23 Степенной ряд.Интервал и радиус сходимости. Если члены фун-го ряда явл-ся степенными функциями аргумента X , то ряд называется –СТЕПЕННЫМ

A₀ + A₁X+ A₂X²…+ A_nXⁿ…= Σ A_nXⁿ - основной степенной ряд (сходится при x=0) Интервал сходимости - интервал от –R до R он симметричен относительно нулевой точки.Что бы найти область сходимости сначала нужно найти интервал сходимости от –R до R затем выяснить вопрос о сх-ти ряда на концах интервала. Радиус сходимости – R. Способ нахождения R=Lim [ A_n / A_n+1]

24 Теорема о почленном интегрировании и диффиренцировании ряда (теорема Абеля). Если степенной ряд сх-ся при X=X₀ то он сх-ся абсолютно при любом значении переменных X удовлетворяющий неравенству [X]< [X₀].Если же степенной ряд расх-ся при X=X₀ , то он расходится при любом значении X удовлетворяющем неравенству [X]> [X₀]

25. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Макларена. Известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой функцией. Возникает обратный вопрос: когда можно представить заданную функцию f (x) в виде суммы некоторого степенного ряда?

Всякая функция бесконечное число раз дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степенной ряд – ряд Тейлора

если в этом интервале выполняется условие

Здесь Rn(x) – остаточный член формулы Тейлора,

При x0 = 0 из (42) получаем так называемый ряд Маклорена: