10 Конечные поля и их свойства.

Поле – это множество математических объектов, для которых определены две основные операции – сложение и умножение, и для каждой из них обратные операции – вычитание и деление.

Аксиома F.1. Множество образует абелеву группу по сложению.

Аксиома F.2. Поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелеву группу по умножению.

Аксиома F.3. Закон дистрибутивности: (a + b)c = ac + bc для любых a, b, с из поля.

Единичный элемент относительно сложения принято обозначать через 0 и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент – через –а; единичный элемент относительно умножения обозначать через 1 и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент – через а^-1. Под вычитанием (а-b) понимается a+(-b); под делением (a/b) понимается ab^-1.

Таким образом, очевидно, что подтверждаются данные в начале темы нестрогие определения, т.е. абелева группа – это множество, в котором можно складывать и вычитать; кольцо – это множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать и, наконец, самой сильной алгебраической структурой является поле, то есть множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Примерами полей могут служить:

• множество вещественных чисел;

• множество комплексных чисел;

• множество рациональных чисел.

Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Нам же в рассматриваемом случае интересны поля, содержащие конечное число элементов. Поле с q элементами, если оно существует, называется конечным полем или полем Галуа и обозначается через GF(q).

Что представляет собой наименьшее поле? Очевидно, что оно обязательно должно содержать нулевой элемент и единичный элемент. Оказывается, что этих двух элементов уже вполне достаточно, чтобы образовать поле. Обозначим нулевой элемент через 0, а единичный через 1 и определим операции сложения и умножения равенствами:

0 + 0 = 0, 0·0 = 0,

0 + 1 = 1, 0·1 = 0,

1 + 0 = 1, 1·0 = 0,

1 + 1 = 0, 1·1 = 1.

Определенные таким образом сложение и умножение называются сложением по модулю 2 и умножением по модулю 2. Очевидно, что из равенства 1 + 1 = 0 следует, что –1 = 1, а из равенства 1·1 = 1 – что 1^-1 = 1. Алфавит из двух символов 0 и 1 вместе со сложением по модулю 2 и умножением по модулю 2 называется двоичным полем и обозначается, как говорилось ранее, через GF(2).

Можно показать, что для любого числа q, являющегося степенью простого числа, существует поле, содержащее q элементов. Однако, следует отметить, что это утверждение, чаще всего, не относится к совокупности целых чисел по модулю q. В то же время поле с р элементами можно получить, рассмотрев совокупность целых чисел по модулю р, если р является простым числом. То есть совокупность целых чисел по модулю q образует поле только в том случае, если q – простое число. Или – поле, содержащее q = p^m элементов (m>1), не может быть образовано из совокупности целых чисел по модулю q.

Пример 1. Поле GF(3). Правила сложения и умножения.

Пример 2. Поле GF(2²). Правила сложения и умножения.

В первом примере поле GF(3) является совокупностью целых чисел по модулю 3, а во втором примере поле GF(2²) не является совокупностью целых чисел по модулю 2² = 4.

Еще один пример поля GF(2²), которое в отличие от поля в примере 2, содержит целые числа {0,1,2,3}, но операции сложения и умножения в нем не являются сложением и умножением по модулю 4.

Пример 3. Поле GF(4) = {0,1,2,3}. Правила сложения и умножения.

В приведенных примерах отметим, что в поле GF(4) из примера 3 содержится поле GF(2), поскольку в поле GF(4) два элемента 0 и 1 складываются и умножаются точно так же, как они складываются и умножаются в поле GF(2). В то же время поле GF(2) не содержится в поле GF(3) из примера 1.