Задачи для самостоятельного решения № 6

. Найти общее решение уравнений.

. Найти особые решения уравнения Бернулли.

. Решить уравнение.

С помощью замены переменных или дифференцирования свести уравнение к линейному и решить его.

.

.

.

.

EMBED Equation.3

Указание. Принять за независимое переменное и затем произвести замену.

Указание. Применить замену .

.

Указание. Замена .

.

Указание. Замена .

.

.

Указание. Замена .

.

.

.

§ 8. Метод подстановки

Одной из основных методов нахождения решений дифференциальных уравнений вида = или является метод подстановки.

При решении конкретных примеров можно воспользоваться следующей таблицей:

Название уравнения	Вид уравнения или определяющие его свойства	Общий интеграл, подстановка или начало подхода к интегрированию
1. Уравнение с разде- ляющимися перемен-ными
2. Уравнение Бернулли (если m=0;1, то уравнение называют линейным)
3. Уравнение Риккати		, где - решение уравнения Риккати
4. Обобщенно-одно- родное уравнение (если k=1, то однородное)	( )

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение: Так как

- однородные функции первой степени, то исходное уравнение однородное. Применив подстановку

, где ,

получаем

,

а уравнение преобразуется к виду

или .

Считая, что в последнем уравнении , разделим переменные и затем интегрируем:

, или .

Возвращаясь к переменным x, y, имеем

или , где .

Заметим, что, разделив на , мы могли бы потерять решения и , т.е. . Непосредственной проверкой убеждаемся, что они действительно являются решениями исходного уравнения и могут быть формально получены из общего решения при и .

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение: Представим уравнение в виде

.

Данное уравнение будет обобщенно-однородным, если

,

т.е. система уравнений должна быть совместной. Эти равенства выполняются при . Следовательно, уравнение является обобщенно-однородным. Поэтому замена переменной приведет данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными

или .

Отсюда

.

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение: Поскольку это уравнение Бернулли, то его решения, отличные от , можно найти, введя новую переменную по формуле

.

Имеем:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

или .

Итак, осталось записать общее решение исходного уравнения:

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение: Это уравнение Риккати, его можно проинтегрировать в том случае, если найдем хотя бы одно его частное решение. Иногда такое частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (R(x), см. таблицу). В данном примере попытаемся искать его в виде . Подставляя в уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, находим, что, либо , либо . Выберем и произведем замену переменных:

.

Тогда получим уравнение

, отсюда .

Возвращаясь к переменным x, y, получим общее решение исходного уравнения

.