Задачи для самостоятельного решения № 5

. Найти общее решение уравнений.

. Найти решение задачи Коши.

. Приближенно начертить интегральные кривые уравнения и определить интервал существования указанного решения.

Решить уравнение.

. Сколько решений уравнения ограничены при ? Найти эти решения.

§ 7. Уравнение Бернулли

К линейному уравнению приводится уравнение Бернулли

,

заменой .

Чтобы решить уравнение Бернулли надо:

1. ввести новую функцию по формуле .

2. в новых переменных получить уравнение с разделяющимися переменными и найти общий интеграл полученного уравнения.

3. в полученном решении провести обратную замену переменных и выписать общее решение исходного линейного уравнения.

Замечание. При уравнение Бернулли имеет решение . Это решение будет частным, если , и особым, если .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Поскольку это уравнение Бернулли, то его решения, отличные от , можно найти, вводя новую переменную по формуле

.

Имеем:

Интегрируя последнее уравнение, получим

Учитывая замену, окончательно имеем

Заметим, что решение входит в общее решение при .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Бернулли. Записав уравнение в виде

Переходя к переменным по формуле

последовательно находим

Разделяя переменные, получим

Проинтегрировав полученное уравнение, имеем

Общее решение исходного уравнения запишется в виде