Задачи для самостоятельного решения № 4

. Найти общее решение уравнений.

. Решить уравнения.

. При каких и данное уравнение приводится к однородному с помощью замены ?

;

;

§ 6. Линейные уравнения

Уравнение вида

(1)

называется линейным.

Если , то уравнение (1) называется неоднородным. В противном случае, линейное уравнение называется однородным. Здесь − известные функции , которые предполагаются непрерывными на интервале . Существует несколько методов решения этого уравнения: метод вариации произвольной постоянной, метод Бернулли, метод интегрирующего множителя.

Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять ролями искомую функцию и независимую переменную. Например, уравнение

,

в котором является функцией от , − нелинейное. Запишем его в дифференциальной форме:

.

Т.к. в это уравнение и входят линейно, то уравнение будет линейным, если считать искомой функцией, а − независимой переменной. Это уравнение может быть записано в виде

и решается аналогично уравнению (1).

Замечание 1. Линейное уравнение не имеет особых решений.

Замечание 2. Общее решение линейного уравнения (1) можно найти по следующей формуле

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это линейное уравнение, . Сделаем замену переменных по формуле

Последовательно находим

Интегрируя последнее уравнение, имеем

Следовательно, все решения данного уравнения описываются формулами

.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Исходное уравнение не является линейным относительно переменной , однако оно линейно относительно . Поэтому целесообразно считать функцией . Данное уравнение имеет очевидное решение . Перепишем его в следующем виде

В последнем уравнении переходим к новой переменной по формуле

Отсюда

Окончательно имеем

Решение входит в общее решение. Действительно, переписывая общее решение в виде и положив получим решение .

Пример 3. Найти решение уравнения

,

которое остается ограниченным при .

Решение. Исходное уравнение перепишем в следующем виде

Сделаем замену переменной по формуле

Переходя к новой переменной, последовательно находим

Следовательно,

Для ограниченного при решения имеем т.е. . Значит , откуда