Задачи для самостоятельного решения № 3

. Найти общее решение уравнений.

. Найти вертикальные асимптоты указанного решения уравнения.

. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения.

. Определить интервал существования решений уравнения, удовлетворяющих указанным начальным условиям.

§ 5. Обобщенно-однородное уравнение

Уравнение

называется обобщенно-однородным уравнением и интегрируется с помощью подстановки

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение: Представим уравнение в виде

.

Данное уравнение будет обобщенно-однородным, если

,

т.е. система уравнений должна быть совместной. Эти равенства выполняются при . Следовательно, уравнение является обобщенно-однородным. Поэтому замена переменной приведет данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными

или .

Отсюда

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

.

Решение: Будем считать, что величина первого измерения, -го измерения, соответственно нулевого и -го измерений. При сделанном предположении члены исходного уравнения будут иметь измерения . Приравнивая их, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число :

.

Это условие выполняется при (при таком все члены левой части исходного уравнения будут иметь измерение ). Следовательно, уравнение является обобщенно-однородным.

Сделаем подстановку после чего получим уравнение

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим

откуда

Это и есть общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим уравнение вида

(2)

где постоянные, непрерывная функция своего аргумента.

Если , то уравнение (2) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.

Если , то следует различать два случая. Если прямые и пересекаются в некоторой точке , то линейной заменой уравнение (2) приводится к однородному. Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом случае и уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены .

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение. Введем замену , получим однородное уравнение . Пусть тогда

Разделив переменные в этом уравнении, получим

Отсюда получаем

Возвращаясь к переменным и , имеем

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными, если произведем замену переменных Получим

Разделяя переменные, получим

Отсюда получаем

Возвращаясь к исходным переменным и , имеем