
- •Часть 1
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •§ 1. Основные понятия и определения
- •§ 2. Построение семейств интегральных кривых
- •Задачи для самостоятельного решения № 1
- •§ 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Уравнение вида
- •Задачи для самостоятельного решения № 2
- •§ 4. Однородные уравнения
- •Задачи для самостоятельного решения № 3
- •§ 5. Обобщенно-однородное уравнение
- •Задачи для самостоятельного решения № 4
- •§ 6. Линейные уравнения
- •Задачи для самостоятельного решения № 5
- •§ 7. Уравнение Бернулли
- •Задачи для самостоятельного решения № 6
- •§ 8. Метод подстановки
- •Задачи для самостоятельного решения № 7
- •§ 9. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующие множители
- •Задачи для самостоятельного решения № 8
- •Задачи для самостоятельного решения № 9
- •§ 10. Вопросы и задачи для повторения
- •Литература
- •Справочный материал
- •Оглавление
- •§ 1. Основные понятия и определения…………………………………….……….3
- •Часть 1
§ 4. Однородные уравнения
Уравнение вида
(1)
называется
однородным,
если
– однородные функции одной и той же
степени
Напомним, что функция
,
удовлетворяющее условию
,
называется однородной функцией степени
Предположим, что коэффициенты
уравнения (1) непрерывные функции в
некоторой области
.
Областью определения однородного
уравнения не обязательно должна быть
вся координатная плоскость без начала
координат. Его можно рассматривать в
любой однородной (инвариантной
относительно растяжений) области,
например в угле с вершиной
,
и т.д. Если уравнение (1) – однородное,
то его можно привести к виду
.
Замена переменных
,
где
новая искомая функция, приводит исходное
неоднородное уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными. Действительно,
тогда
и исходное уравнение может быть переписано
в виде
или
.
Следовательно, для того, чтобы найти общее решение (общий интеграл) нужно:
1. Ввести новую
функцию
по формуле
.
2. В новых переменных
получить уравнение с разделяющимися
переменными.
Найти
общее решение полученного уравнения.
При этом можем потерять решения вида
,
где
– корень уравнения
.
3. В полученном решении провести обратную замену переменных и выписать общее решение исходного однородного уравнения.
Пример
1.
Решить уравнение
Решение. Переписывая уравнение в виде
,
(*)
замечаем, что правая часть уравнения является однородной функцией нулевого порядка, следовательно, исходное уравнение – однородное.
Производя замену переменных в (*), получаем:.
.
Разделяем
переменные
и интегрируем:
Интеграл слева – табличный, поэтому
Так
как
,
то, обозначая
,
получаем
Возвращаясь к исходной переменной, получаем общий интеграл однородного уравнения
Заметим,
что при разделении переменных обе части
уравнения делились на произведение
,
поэтому могут быть потеряны решения,
которые обращают в нуль это произведение.
Положим
теперь
Из второго
уравнения получаем
,
или
Непосредственной проверкой убеждаемся,
что функции
также являются решениями исходного
уравнения.
Пример
2. Решить
уравнение
Решение. Это уравнение однородное. Замена переменных приводит к уравнению с разделяющимися переменными
Очевидно,
функции
являются решениями полученного уравнения.
Другие его решения найдем, разделяя
переменные. Имеем
После потенцирования имеем
Возвращаясь к переменной , получаем общий интеграл
где
.
«Потерянные»
при разделении решения
входят в общий интеграл при
Пример 3. Определить интервалы существования решений уравнения
,
удовлетворяющих условиям
.
Решение. Полупрямые
,
примыкающие к особой точке
являются интегральными кривыми уравнения.
Прямые
делят координатную плоскость на четыре
части, в каждой из которых производная
имеет один и тот же знак.
Заметим, что
интервал существования решения
это интервал изменения
интегральной кривой, проходящей через
заданную точку. Следовательно, интервал
существования решения зависит от того,
в какой части плоскости, разбиваемой
прямыми
,
лежит данная точка. Например, точка
лежит в секторе
,
следовательно, интервал существования
решения
.
Точка
лежит на полупрямой
,
которая примыкает к особой точке
.
А полупрямая
интегральная
кривая, поэтому
(интервал изменения
).
Аналогично определяем интервал
существования других задач Коши: