Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
default.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
5.84 Mб
Скачать

§ 4. Однородные уравнения

Уравнение вида

(1)

называется однородным, если – однородные функции одной и той же степени Напомним, что функция , удовлетворяющее условию , называется однородной функцией степени Предположим, что коэффициенты уравнения (1) непрерывные функции в некоторой области . Областью определения однородного уравнения не обязательно должна быть вся координатная плоскость без начала координат. Его можно рассматривать в любой однородной (инвариантной относительно растяжений) области, например в угле с вершиной , и т.д. Если уравнение (1) – однородное, то его можно привести к виду . Замена переменных , где  новая искомая функция, приводит исходное неоднородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда и исходное уравнение может быть переписано в виде

или .

Следовательно, для того, чтобы найти общее решение (общий интеграл) нужно:

1. Ввести новую функцию по формуле .

2. В новых переменных получить уравнение с разделяющимися переменными.

Найти общее решение полученного уравнения. При этом можем потерять решения вида , где – корень уравнения .

3. В полученном решении провести обратную замену переменных и выписать общее решение исходного однородного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Переписывая уравнение в виде

, (*)

замечаем, что правая часть уравнения является однородной функцией нулевого порядка, следовательно, исходное уравнение – однородное.

Производя замену переменных в (*), получаем:.

.

Разделяем переменные и интегрируем:

Интеграл слева – табличный, поэтому

Так как , то, обозначая , получаем

Возвращаясь к исходной переменной, получаем общий интеграл однородного уравнения

Заметим, что при разделении переменных обе части уравнения делились на произведение , поэтому могут быть потеряны решения, которые обращают в нуль это произведение.

Положим теперь Из второго уравнения получаем , или Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции также являются решениями исходного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение однородное. Замена переменных приводит к уравнению с разделяющимися переменными

Очевидно, функции являются решениями полученного уравнения. Другие его решения найдем, разделяя переменные. Имеем

После потенцирования имеем

Возвращаясь к переменной , получаем общий интеграл

где . «Потерянные» при разделении решения входят в общий интеграл при

Пример 3. Определить интервалы существования решений уравнения

,

удовлетворяющих условиям

.

Решение. Полупрямые , примыкающие к особой точке являются интегральными кривыми уравнения. Прямые делят координатную плоскость на четыре части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак.

Заметим, что интервал существования решения это интервал изменения интегральной кривой, проходящей через заданную точку. Следовательно, интервал существования решения зависит от того, в какой части плоскости, разбиваемой прямыми , лежит данная точка. Например, точка лежит в секторе , следовательно, интервал существования решения . Точка лежит на полупрямой , которая примыкает к особой точке . А полупрямая интегральная кривая, поэтому (интервал изменения ). Аналогично определяем интервал существования других задач Коши:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]