Задачи для самостоятельного решения № 1
Найти изоклины
нуля и бесконечности. Проверить, являются
ли эти изоклины интегральными кривыми
уравнения?
Приближенно
начертить интегральные кривые уравнений.
При каком значении
параметра
прямая
будет интегральной кривой уравнения?
Выяснить, при каких
начальных условиях существует решение
уравнения и на плоскости
нарисовать эту область.
Составить
дифференциальное уравнение семейства
кривых.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
23.
.
24.
.
25.
.
.
§ 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . Уравнение вида
(1)
называется
уравнением с разделенными переменными.
Предполагается, что
.
Область
–
область задания уравнения (1). Пусть
.
Точки множества
называются особыми. Тогда для любой
точки
функция
– интеграл
уравнения (1) в
.
.
Уравнение с разделяющимися переменными
имеет вид
.
(2)
Предполагается,
что
.
Пусть
.
Рассмотрим вместо (2) уравнение
,
(3)
которое равносильно
(2) в
.
Поэтому любой его интеграл в
есть и интеграл (2).
К уравнению (2) сводятся многие виды
дифференциальных уравнений. Одно из
них – уравнение вида
,
(4)
где
(иначе (4) – просто уравнение типа (2)).
Сделаем замену переменных
.
Учитывая, что
,
получим уравнение
– это уравнение вида (2).
Для того, чтобы
проинтегрировать уравнение (2), следует
сначала обе его части разделить на
произведение
,
а затем, интегрируя (3) (существование
интегралов обеспечено предположением
непрерывности функций), записать общее
решение (общий интеграл)
.
(5)
Уравнения с разделяющимися переменными всегда интегрируются в квадратурах.
Возможно, что неопределенные интегралы, входящие в общее решение (5), в некоторых случаях нельзя выразить через элементарные функции. Несмотря на это, считается, что дифференциальное уравнение (2) проинтегрировано, если его решение сведено к вычислению интегралов вида (5).
При
делении могли быть потеряны решения
уравнений
.
Если уравнение
(
=0)
имеет решения вида
(
),
то, очевидно, функция
является решением уравнения (2), что
проверяется непосредственной подстановкой.
При этом, если решение
(
)
не может быть получено из общего решения
(5) ни при каких значениях произвольной
постоянной
,
включая
,
то оно является особым решением и в
ответе его нужно присоединить к общему
решению.
Если
нужно из общего решения (5) выделить
частное решение (задача Коши),
удовлетворяющее начальному условию
,
то записав общее решение (5) в виде
(6)
и
полагая в (6)
,
найдем
.
Следовательно, искомым решением задачи
Коши будет
.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
Разделив обе части этого уравнения на
,
получим уравнение с разделенными
переменными
.
Интегрируя уравнение, имеем
.
Произвольное
постоянное
можем записать в виде
.
Отсюда потенцируя, общее решение данного
уравнения запишем в виде
Особых
решений нет, т.к.
для любых
и
для любых
.
Пример 2. Найти все решения уравнения
Решение: Областью определения данного уравнения является
.
При
,
разделяя переменные, получим уравнение
с разделенными переменными
.
Интегрируя это уравнение, запишем общее решение
.
При разделении переменных могли потерять решения
,
которые не получаются из общего решения ни при каких значениях произвольной постоянной , включая . Следовательно, решения − особые. Таким образом, решения данного уравнения запишутся в виде
Пример
3. Найти
решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение. Записываем уравнение в виде
и разделяя переменные, имеем
Интегрируя, получим общее решение
.
(*)
Полагая
в (*)
,
будем иметь
,
откуда
.
Подставляя в (*) найденное значение , получаем частное решение
.
Заметим,
что при делении на произведение
предполагалось, что ни один из множителей
не обращается в ноль. Приравняв каждый
множитель нулю, получим соответственно
.
Эти
решения могут быть формально получены
из общего интеграла (*) при
.
Следовательно, они являются частными
решениями.