§ 2. Построение семейств интегральных кривых
Для выяснения качественной картины расположения интегральных кривых уравнения
= (1)
используется метод
изоклин. Пусть функция
определена и непрерывна в области G.
Дифференциальное уравнение (1) задает
угловой коэффициент касательных к
интегральным кривым во всех точках
области G. Таким
образом, уравнение (1) порождает в области
G векторное поле (или
поле направлений). Метод приближенного
построения интегральных кривых уравнения
(1) основывается на следующем утверждении:
гладкая кривая является интегральной
тогда и только тогда, когда в каждой
своей точке она касается элемента поля
направлений, построенного для этой
точки. При построении поля направлений
используются изоклины, т.е. множества
точек, в которых значения функции
равны фиксированному числу k.
В каждой точке такой изоклины отрезок
поля направлений имеет угловой
коэффициент, равный k.
Для приближенного построения семейств интегральных кривых необходимо:
Найти
- область определения правой части уравнения (1);
- изоклину нуля из
уравнения
;
- изоклину
бесконечности из уравнения
;
- особые точки уравнения (точки пересечения изоклин нуля и бесконечности);
- область возрастания
и убывания интегральных кривых (
);
- решения вида
;
- более простые
изоклины (
).
2. Провести кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с полем направления, определяемым правой частью уравнения (1).
Эти кривые приближенно принимаются за интегральные кривые уравнения (1). Сформулированный алгоритм называется методом изоклин.
Пример 1. При
каком значении параметра
прямая
будет интегральной кривой уравнения
?
Решение. Если прямая является интегральной кривой исходного уравнения, то функция должна быть решением этого же уравнения. Следовательно, из следующего тождества
получим, что
.
Пример 2. С
помощью изоклин приближенно начертить
интегральные кривые уравнения
.
Решение. Областью
определения уравнения будет вся
плоскость. Семейство изоклин для данного
уравнения определяется уравнением
,
где
- действительный параметр.
Две прямые
задают изоклину нуля. Кроме того, прямая
– интегральная кривая, т.к. функция
есть решение исходного уравнения.
Уравнение не имеет изоклину бесконечности
и, следовательно, оно не имеет особых
точек.
Далее, прямые
делят координатную плоскость на четыре
части, в каждой их которых производная
имеет один и тот же знак. Из вида правой
части уравнения следует, что знак
производной чередуется. Определим знак
производной в области
.
Возьмем любую точку из этой области,
например
.
Подставляя координаты этой точки в
правую часть исходного уравнения,
убеждаемся, что
.
Нетрудно доказать,
что точки прямой
для которых
являются точками максимумов, а при
− точками минимумов интегральных
кривых.
Дополнительно
построим ещё две изоклины: при
и при
.
Касательные, проведенные к интегральным
кривым в точках пересечения с указанными
изоклинами, образуют с осью абсцисс
углы
соответственно.
Построим схематически интегральные кривые исходного уравнения (рис. 1).
Рис. 1
Пример 3. Приближенно начертить интегральные кривые уравнения
Решение. 1.
Семейство изоклин для данного уравнения
определяется уравнением
,
где k − действительный
параметр. Этим уравнением задано
семейство гипербол. Некоторые из этих
изоклин изображены на рис. 2.
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
2. При
получим
изоклины
.
Эти прямые делят плоскость Оxy
на четыре части, в каждой из которых
производная
имеет один и тот же знак (рис.3).
3. Изучая знак
производной
,
заключаем, что точки полупрямых
,
являются точками максимума, а точки
полупрямых
,
− точками минимума.
Полученной информации достаточно для приближенного построения интегральных кривых уравнения (рис.4).
Пример 4. Приближенно начертить интегральные кривые уравнения
Решение. 1.
Семейство изоклин для данного уравнения
определяется уравнением
,
где
-действительный
параметр. Этим уравнением задано
семейство гипербол с асимптотами
Некоторые из этих изоклин изображены
на рис.5.
2. Знак производной
определяет в каких точках
интегральные кривые возрастают, а в
каких убывают. Таким образом, область
можно разбить на два подмножества, на
каждом из которых интегральные кривые
либо возрастают, либо убывают (см. рис.
6).
3. Выясним, имеет
ли данное уравнение решения вида
.
Прямая
является интегральной кривой, т.к.
функция
есть решение исходного уравнения.
4. Ось ординат
(изоклина при
)
интегральные кривые пересекают под
прямым углом, т.е. касательные к ним
параллельны оси абсцисс. Это означает,
что точки прямой
являются точками экстремума для
интегральных кривых. Чтобы выяснить
характер экстремальных точек, вычислим
вторую производную
.
Следовательно,
точки оси ординат, для которых
являются точками минимума, а точки, для
которых
- точками максимума.
5. Изоклины
расположены симметрично относительно
прямой
и, следовательно, интегральные кривые
тоже должны быть относительно неё
симметричны. Функция
удовлетворяет соотношению
,
из которого следует, что если
решение уравнения
,
то
тоже является решением.
Заметим, что если
при замене в уравнении (1)
на
или
на
уравнение (1) не изменяется, то интегральные
кривые симметричны относительно оси
абсцисс, так и оси ординат.
Полученной информации достаточно для приближенного построения интегральных кривых уравнения (рис. 7).
x
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7
Пример 5. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых
.
Решение. Дважды продифференцировав данное равенство по , получим систему
Исключая
,
находим требуемое дифференциальное
уравнение семейства
