Задачи для самостоятельного решения № 8

Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их.

Решить уравнения методом интегрирующего множителя, зная, что или .

Найти решение задачи Коши методом последовательных приближений.

Определить тип каждого из следующих уравнений и указать метод интегрирования.

Найти особые решения.

.

Задачи для самостоятельного решения № 9

Решить уравнения, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель.

Решить уравнения методом выделения полных дифференциалов.

На каком промежутке продолжаемо решение данного уравнения?

Решить уравнение.

§ 10. Вопросы и задачи для повторения

1. Какие уравнения называются дифференциальными?

2. Что называется решением дифференциального уравнения? В каких видах могут быть заданы решения?

3. Могут ли дифференциальные уравнения иметь одно решение, несколько решений, бесконечное множество решений или не иметь решений? Привести примеры.

4. Какую геометрическую интерпретацию можно дать дифференциальному уравнению ? Его решению?

5. Что называют интегральными кривыми дифференциального уравнения первого порядка. Начертить интегральные кривые уравнений:

Указать те области, где эти уравнения определяют поле направлений.

6. Каковы основные формы задания уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной?

7. Как определить наклон интегральной кривой уравнения первого порядка в заданной точке по виду правой части уравнения? Что такое поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением?

8. Под каким углом пересекают ось в точке интегральные кривые уравнения ?

9. Что такое изоклина? Напишите уравнение изоклины нуля и бесконечности. Может ли изоклина быть одновременно интегральной кривой уравнения? Если да, то приведите пример.

10. Может ли интегральная кривая уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, иметь излом? Могут ли интегральные кривые этого уравнения пересекаться или касаться друг друга?

11. Написать уравнение геометрического места точек , являющихся точками максимума или минимума решений уравнения .

12. Написать уравнение геометрического места точек , являющихся точками перегиба решений уравнения .

13. Пусть правая часть дифференциального уравнения обладает свойством . Доказать, что если - решение этого уравнения, то - также его решение. Получить аналогичные результаты о симметрии решений для случаев: а) б) .

14. В чем состоит задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной? При каком условии она имеет решение? При каких условиях это решение будет заведомо единственным? Рассмотреть пример

15. Каков геометрический смысл начальных значений задачи Коши? Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

16. Дайте определение общего решения. Как решается задача Коши, если известно общее решение? Что такое общее решение в параметрической форме? Что такое общий интеграл?

17. Дайте определение частного решения. Как это решение связано с общим решением?

18. Как найти кривые, подозрительные на особое решение, по виду дифференциального уравнения? В каком случае дифференциальное уравнение заведомо не имеет особых решений?

19. Как можно обнаружить кривые, подозрительные на особые решения, в процессе интегрирования данного уравнения? Может ли дифференциальное уравнение иметь решения, которые не являются ни частными, ни особыми?

20. Где по отношению к области существования и единственности решения задачи Коши могут находиться особые решения уравнения Рассмотреть уравнение .

21. Каков геометрический образ возможных особых решений уравнений:

а) ; б) ; в) ?

22. Что такое особая точка дифференциального уравнения? Как по виду правой части уравнения установить у него наличие особых точек?

23. Дано уравнение , где уравнение имеет корни , уравнение имеет корни . Сколько особых точек имеет данное уравнение?

24. Дайте геометрическую интерпретацию факта существования и единственности решения задачи Коши для уравнения .

25. Что такое область существования и единственности решения задачи Коши? Приведите пример.

26. Что представляет собой множество интегральных кривых дифференциального уравнения в области существования и единственности решения?

27. Удовлетворяет ли функция условию Липшица?

28. Всякая ли функция удовлетворяющая условию Липшица по , имеет частную производную по ?

29. Привести пример уравнения с непрерывной правой частью, у которого в каждой точке некоторой интегральной кривой нарушалась бы единственность решения.

30. Для уравнения выделить все области на плоскости , в которых через каждую точку проходит единственная кривая уравнения.

31. На плоскости выделить области, в которых уравнение удовлетворяет условию теоремы существования и единственности.

32. Имеет ли место единственность решения задачи Коши:

33. Как интегрируются уравнения с разделенными и разделяющимися переменными?

34. Какой вид имеют изоклины нуля и бесконечности уравнения с разделяющимися переменными?

35. Может ли уравнение иметь решение, существующее на всей оси , если функция разрывная? Привести примеры.

36. Выяснить, где в прямоугольнике могут нарушиться условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с разделяющимися переменными

,

если

37. Возможно ли, чтобы уравнение с разделяющимися переменными допускало бесконечное число особых решений? Рассмотрите пример.

38. Найти решение уравнения , , удовлетворяющее начальному условию . Для каких значений задача Коши имеет единственное решение?

39. При каких неотрицательных нарушается единственность решений уравнения и в каких точках?

40. Сколько решений уравнения проходит через точку ?

41. Сколько решений уравнения определяет соотношение при каждом фиксированном ? Найти решения уравнения, удовлетворяющие начальным условиям:

а) ; б) ; в) .

Указать интервал существования каждого из этих решений.

42. Решите уравнение и постройте интегральные кривые этого уравнения.

43. Найти угол между интегральными кривыми уравнений:

а) ; б)

в точке .

44. На каком промежутке существует решение задачи Коши , ?

45. Не находя явного вида решений, построить изоклины и нарисовать семейство решений следующих дифференциальных уравнений:

а) ; б) , ; в) .

Какие общие геометрические свойства имеют решения этих уравнений? Наконец, проверить полученные результаты, найдя явный вид решений.

46. Показать, что фазовый портрет уравнения качественно такой же, как и у уравнения для всех действительных . Показать, что, тем не менее преобразование вида , переводящее первое уравнение во второе, существует, если или .

47. Пересекаются ли решения уравнения ?

48. Изучить поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением

Проинтегрировать и изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и при и при . Существует ли решение с начальным условием ?

49. Найти решение уравнения , ограниченное при .

50. Какое уравнение называется однородным? Какова особенность поля направлений, определяемого этим уравнением? Как оно интегрируется?

51. Какому условию должна удовлетворять функция , чтобы уравнение было однородным?

52. Всегда ли однородное уравнение имеет особые точки? Если да, то, как их найти?

53. Существуют ли особые решения у уравнения ? Существуют ли особые точки?

54. Указать геометрический образ возможных особых решений однородного уравнения . Может ли, в частности, такое уравнение иметь особое решение , где ?

55. Какие линии являются изоклинами однородного уравнения? Могут ли его изоклины определяться уравнениями: ; ; ?

56. Пусть функция непрерывна и - решение уравнения . Показать, что:

1) если , то ни одно из других решений не касается прямой в начале координат;

2) если , то этой прямой касается бесконечно много решений.

57. Если некоторая кривая является интегральной кривой однородного уравнения, то всегда ли симметричная ей относительно начала координат кривая также является интегральной?

58. Что можно сказать о семействе интегральных кривых однородного уравнения, если известно, что одна из них замкнута?

59. Пусть - решение однородного уравнения. Какая из указанных ниже функций также является решением этого уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ?

60. Укажите замену переменных, с помощью которой уравнение

, где ,

приводится к однородному. Каков геометрический смысл замены переменных?

61. Какое уравнение называется обобщенно- однородным? Как оно интегрируется?

62. Какому условию должна удовлетворять функция , чтобы уравнение было обобщенно-однородным?

63. При каких и уравнение приводится к однородному с помощью замены ?

64. Какое уравнение называется линейным? При каком условии задача Коши для линейного уравнения имеет единственное решение? На каком интервале гарантируется продолжимость решений?

65. Выразить общее решение линейного уравнения через заданные функции, входящие в уравнение.

66. Может ли график ненулевого решения линейного однородного уравнения пересекать ось или касаться ее? Может ли линейное уравнение иметь особое решение?

67. Как найти общее решение однородного линейного уравнения, если известно одно ненулевое частное решение его?

68. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение его и общее решение соответствующего однородного уравнения?

69. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно его частное решение?

70. Найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно частное решение соответствующего однородного уравнения и одно частное решение неоднородного уравнения.

71. Найти общее решение неоднородного линейного уравнения по двум его частным решениям.

72. Пусть - два решения неоднородного линейного уравнения. Доказать, что если - частное решение, отличное от и , то отношение постоянно. Каков геометрический смысл этого свойства?

73. Доказать, что уравнение , где , а - многочлен степени , имеет частное решение вида , где - многочлен степени .

74. Найти - периодическое решение уравнения

, где а - const.

75. Показать, что функция есть решение уравнения , где .

76. Привести уравнение к линейному уравнению при помощи замены искомой функции.

77. Привести уравнение к линейному уравнению.

78. Показать, что линейное уравнение остается линейным при любой замене независимой переменной , где - дифференцируемая функция.

79. Показать, что линейное уравнение остается линейным при любом линейном преобразовании искомой функции , где и - произвольные дифференцируемые функции, причем в рассматриваемом интервале.

80. Найти общее решение однородного линейного уравнения первого порядка, приведя его к уравнению, не содержащему члена с искомой функцией, при помощи замены , где - непрерывно-дифференцируемая функция. Выполнить это задание для неоднородного линейного уравнения.

81. Доказать, что всякое линейное уравнение первого порядка, имеющее частное решение , является уравнением с разделяющимися переменными.

82. Показать, что уравнение , где функция непрерывная и при , имеет одно решение, ограниченное при . Найти это решение.

83. Доказать, что дифференциальное уравнение с помощью замены приводится к линейному уравнению.

84. Пусть в уравнении при . Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при . Найти это решение.

85. Пусть в уравнении предыдущей задачи при . Показать, что все решения этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при . Найти этот предел.

86. Показать, что только одно решение уравнения

стремится к конечному пределу при и найти этот предел.

87. Доказать, что линейное уравнение , где - периодическая функция с периодом , имеет одно периодическое решение с тем же периодом. Найти это решение.

88. Показать, что одним из решений уравнения , где , будет функция .

89. Найти периодическое решение уравнения .

90. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию: при .

91. Найти ограниченное при решение уравнения .

92. Показать, что касательные ко всем интегральным кривым уравнения в точках пересечения их с осью параллельны. Определить угол, под которым интегральные кривые пересекают ось .

93. Общее решение неоднородного линейного уравнения имеет вид . Доказать обратное: дифференциальное уравнение всякого семейства кривых этого вида есть линейное уравнение.

94. Выяснить, какие из следующих семейств кривых имеют своим дифференциальным уравнением линейное уравнение:

а) б) в)

95. Найти частные производные от решения однородного линейного уравнения с начальными данными по этим начальным данным в точке .

96. Доказать, что всякая интегральная кривая линейного уравнения делит в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя интегральными кривыми этого уравнения.

97. Доказать, что касательные к интегральным кривым линейного уравнения, проведенные в точках пересечения этих кривых с прямой, параллельной оси , или пересекаются в одной точке или параллельны.

98. Как интегрируется уравнение Бернулли? При каком условии будет решением, когда это решение является частным и когда особым?

99. При каких уравнение Бернулли с непрерывными коэффициентами может иметь особые точки? Указать возможные координаты этих особых точек.

100. Доказать, что уравнение Бернулли не меняет типа при преобразовании , где - любая заданная дифференцируемая функция.

101. Показать, что общее решение уравнения Бернулли , где имеет вид

102. Доказать по виду уравнения Бернулли, что единственной кривой, подозрительной на особое решение его, может быть ось .

103. Сколько раз ненулевое решение уравнения Бернулли с непрерывными коэффициентами может пересекать ось ?

104. Сколько решений уравнения определяет соотношение ?

106. Доказать, что дифференциальное уравнение

где - однородные функции, причем и - одного измерения, сводится к уравнению Бернулли путем введения переменной

107. Исследовать характер особой точки уравнения , в предположении, что - непрерывно дифференцируемая функция.

108. Какой вид имеет уравнение Риккати? Какова степень произвола выбора начальных данных решений этого уравнения? Всегда ли интегрируется в квадратурах?

109. Доказать, что уравнение Риккати не меняет типа при любой замене независимой переменной .

110. Доказать, что уравнение Риккати не меняет типа при любом дробно-линейном преобразовании искомой функции

где

111. Свести уравнение Риккати к линейному уравнению, если частное решение его имеет вид

112. Может ли уравнение Риккати иметь особые решения? Возможно ли существование решения во всем интервале непрерывности коэффициентов уравнения?

113. Какие существуют методы интегрирования уравнения Риккати?

114. Найти общий интеграл уравнения Риккати, если известно одно его частное решение.

115. Доказать, что общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной С.

116. Показать, что если известны два частных решения уравнения Риккати , то его общее решение будет иметь вид

, где С – произвольная постоянная.

117. Доказать, что если три частных решения уравнения Риккати являются периодическими с периодом , то и все решения будут периодическими с тем же периодом.

118. Показать, что для любых трех непрерывных решений уравнения Риккати с непрерывными коэффициентами выполняется соотношение вида .

119. Доказать, что всякие четыре частные решения уравнения Риккати связаны ангармоничным соотношением:

.

120. Доказать, что дифференциальное уравнение семейства кривых

,

где , есть уравнение Риккати.

121. Найти общий интеграл уравнения Риккати , когда отношение коэффициентов не зависит от x, т.е. .

122. Может ли уравнение Риккати быть обобщенно-однородным? Привести пример.

123. Найти совпадающие решения двух уравнений Риккати:

а) ; б) .

124. При каком условии уравнение является уравнением в полных дифференциалах? Какой вид имеет его общий интеграл?

125. Как по виду уравнения в полных дифференциалах написать его решение задачи Коши с начальными данными , ?

126. Приближенно изобразить на чертеже интегральные кривые уравнения , где и уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

127. Приближенно изобразить на чертеже интегральные кривые предыдущего уравнения при .

128. В чем состоит метод интегрирующего множителя? При каком условии существует интегрирующий множитель, зависящий:

а) от заданной функции переменных x и y; б) только от х; в) только от y?

129. Для всякого ли дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель?

130. Найти интегрирующий множитель для уравнения с разделяющимися переменными.

131. Доказать, что функция является интегрирующим множителем для однородного уравнения с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами.

132. Доказать, что если уравнение - однородное, а есть полный дифференциал, то общий интеграл уравнения имеет вид .

133. Имеет ли линейное уравнение интегрирующий множитель, зависящий только от или ?

134. Имеет ли уравнение Бернулли интегрирующий множитель, зависящий только от или ?

135. Пусть есть общий интеграл уравнения . Доказать, что , где Ф – любая дифференцируемая функция, также является общим интегралом этого уравнения.

136. Можно ли утверждать, что если уравнение удовлетворяет теореме существования и единственности на всей плоскости , то его решения продолжимы для всех ?

137. Пусть на всей плоскости функции и непрерывны и существует такая постоянная M>0, что . Доказать, что при любых начальных данных решение задачи Коши , , можно продолжить на всю числовую ось.

138. При каких начальных данных решение задачи Коши , неограниченно продолжается вправо, влево, на всю числовую ось?

139. Доказать, что при любых начальных данных решение задачи Коши существует для .

140. Доказать, что решение уравнения с начальными данными существует в интервале .

141. Найти интервал существования решения задачи Коши , , не выходящего из области .

142. Указать какой-нибудь интервал, на котором существует решение задачи Коши , .

143. Найти все решения задачи Коши , определенные на промежутке .

144. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области плоскости , в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения:

а) ; б) .

145. С помощью метода последовательных приближений найти решения уравнений:

а) б)

146. Как ведут себя в промежутке последовательные приближения для уравнений:

а) , б) , в) ,

если ?

147. Методом последовательных приближений найти третье приближение к решению задачи Коши , , рассматривая уравнение в квадрате . На каком промежутке теорема Пикара гарантирует сходимость последовательных приближений? Оценить погрешность между точным решением указанной задачи Коши и найденным третьим приближением.

148. Сколько производных имеют решения следующих уравнений в окрестности начала координат

?

149. Выяснить, имеет ли уравнение особые решения. Найти их, если они существуют, построить интегральные кривые данного уравнения.

150. Найти по виду уравнения кривые, подозрительные на особое решение, и проверить, будут ли они особыми решениями:

.

151. Доказать по виду уравнений, что они не имеют особых решений:

.

152. Найти особое решение уравнения где - непрерывная функция, отличная от тождественного нуля.

153. Показать, что функция - особое решение уравнения

,

где - непрерывная, а - непрерывно дифференцируемая функции на интервале , причем на .

154. Определить тип каждого из следующих уравнений и указать метод интегрирования его:

а) , в) ,

б) , г) .

155. Показать, что любое решение уравнения , где - непрерывны и , имеет вертикальную асимптоту.

156. Найти интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .

157. Может ли уравнение иметь решение, существующее на всей оси , если функция не является всюду непрерывной?

158. Докажите, что все решения уравнения монотонны, если .

159. Пусть непрерывна при и при для некоторого решения уравнения . Докажите, что тогда также является решением.

160. Пусть непрерывна и положительна при . Найдите необходимое и достаточное условие наличия асимптот y решений уравнения .

161. Пусть функция непрерывна по обоим аргументам и при каждом не возрастает при возрастании . Доказать, что если два решения удовлетворяют одному и тому же начальному условию , то они совпадают при .