Задачи для самостоятельного решения № 7
Решить уравнения.
Найти частное решение уравнения Риккати.
Решить уравнение.
Найти то решение
уравнения
которое остается ограниченным при
.
Найти то решение
уравнения
которое
стремится к 0
при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к 0
при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к 0 при
.
Найти то решение уравнения
которое остается ограниченным при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к минус единице при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к 0 при
.
Найти ограниченное
при
решение уравнения
Найти то решение
уравнения
которое остается ограниченным при
.
Найти
- периодическое
решение уравнения
Найти то решение
уравнения
которое
остается ограниченным
при .
Найти периодическое
решение уравнения
Найти то решение
уравнения
которое остается ограниченным при
.
Найти то решение
уравнения
которое
остается ограниченным при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к нулю при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к нулю при
.
Найти то решение
уравнения
которое стремится к нулю при
.
Найти то решение
уравнения
которое
остается ограниченным при
.
Найти периодическое решение уравнения
Найти то решение
уравнения
которое стремится к единице при
.
Найти ограниченное
решение уравнения
Найти то решение
уравнения
которое стремится к единице
при .
Найти то решение
уравнения
которое стремится к нулю при
.
Найти то решение
уравнения
которое остается ограниченным при
.
Найти то решение
уравнения
которое
остается ограниченным при
.
§ 9. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующие множители
.
Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение
(1)
называется
уравнением
в полных дифференциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
,
т.е.
В
этом случае его можно записать в виде
.
Тогда общий интеграл уравнения (1) имеет
вид
.
Известно,
что если функции
непрерывны в некоторой односвязной
области
то условие
(2)
является необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах.
При этом можно представить в следующих видах
,
(3)
.
(4)
Точка
выбирается произвольно, но так, чтобы
сегменты
принадлежали области
.
.
Интегрирующие множители
Допустим,
что уравнение (1) не является уравнением
в полных дифференциалах, т.е. не выполнено
условие (2), но существует некоторая
функция
,
после умножения на которую уравнение
(1) превращается в уравнение в полных
дифференциалах. Такая функция
называется интегрирующим
множителем.
Общего подхода, позволяющего найти интегрирующий множитель для произвольного уравнения (1) нет. Задача отыскания интегрирующего множителя для конкретных уравнений носит скорее творческий характер, и возможность её решения зависит от умения и навыков исследователя.
В некоторых случаях интегрирующий множитель легко находится.
.
Уравнение (1) имеет интегрирующий
множитель
тогда и только тогда, когда
.
(*)
Тогда
.
.
Уравнение (1) имеет интегрирующий
множитель
тогда и только тогда, когда
.
(**)
Тогда
.
Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующий алгоритм решения уравнения (1).
Выписать функции
и проверить выполнение условия (2).
а) Если условие (2) выполнено, то
1.
Найти интегралы
,
рассматривая при этом в первом интеграле
как параметр.
2. Записать общий интеграл уравнения в полных дифференциалах в виде (3).
б)
Если не выполнено условие (2), то найти
разность
и разделить либо на
,
либо на
.
Если выполнено одно из двух условий (*)
или (**), то умножая уравнение (1) либо на
,
либо
получим уравнение в полных дифференциалах.
Пример
1. Решить
уравнение
.
Решение.
.
Проверяем условие (2)
Следовательно, рассматриваемое уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем интегралы
Общий интеграл заданного уравнения:
Проверка:
.
Отсюда следует,
что функция
действительно является общим интегралом
исходного уравнения.
Пример 2. Решить
уравнение
.
Решение. Для
данного уравнения
.
Проверяем условие (2):
,
которое не выполняется. Поэтому составляем отношение
Отсюда
Умножая
уравнение на
,
получаем
.
Для полученного
уравнения
Проверяем условие (2)
.
Найдем интегралы
Записываем общий интеграл исходного уравнения
Пример 3. Решить
уравнение
.
Решение. Для
данного уравнения
.
Вычислим частные производные:
.
Из соотношения
находим
Уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах.
Найдем интегралы
Общий интеграл имеет вид
Для решения некоторых уравнений можно применять метод выделения полных дифференциалов.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение: Заметим, что
.
Перепишем исходное уравнение в виде:
.
Деля его на
,
получим
или
.
Интегрируя это уравнение, находим общий интеграл
.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение: Полагая
,
приводим уравнение к виду
,
которое при
можно записать так:
т.е.
.
Имеем
.
Следовательно,
.
Метод последовательных приближений
Если правая часть уравнения
(5)
удовлетворяет
условиям теоремы Пикара о существовании
и единственности решения задачи Коши
с начальным условием
,
то это решение можно найти как предел
равномерно сходящейся при
последовательности функции
,
определяемых рекуррентным соотношением
(6)
Пример
6. Построить
последовательные приближения
к решению задачи Коши
Решение. Из формулы (6) последовательно находим
Замечая,
что коэффициенты трех первых членов
последовательных приближений не
меняются, а поскольку знаменатели
коэффициентов при
растут, то в качестве точного решения
задачи Коши можно взять функцию
.
Стандартно проверяя эту функцию на
решение, убеждаемся, что она действительно
является решением.
Замечание. В редких случаях методом последовательных приближений удается найти точное решение задачи Коши для уравнения (5).
.
Особые решения
Предположим, что
правая часть уравнения (5) определена и
непрерывна в области
и имеет непрерывную частную производную
.
Тогда, согласно упрощенной формулировке
теоремы о существовании и единственности,
через каждую точку этой области проходит
одна и только одна интегральная кривая
уравнения (5) и, следовательно, уравнение
(5) не имеет особых решений. Поэтому
особые решения уравнения (5) нужно искать
только среди тех кривых, вдоль которых
не ограничена. Будем называть такие
кривые кривыми, подозрительными на
особое решение. Найдя кривую,
подозрительную на особое решение,
необходимо проверить:
1) является ли она вообще интегральной кривой, т.е. решением уравнения (5);
2) нарушается ли единственность в каждой её точке.
Если то и другое выполняется, то кривая, подозрительная на особое решение, действительно является им.
Пример 7. Найти особые решения уравнения
.
Решение. Функция
является непрерывной в области
.
Производная же
терпит разрыв
вдоль прямых
,
поэтому они являются кривыми,
подозрительными на особые решения.
Проверяем два вышеприведенных условия.
Так как
и
являются решениями, и в каждой точке их
нарушается условие единственности, то
- особые решения. Решения, таким образом,
определяются соотношениями
и
,
первое из которых – однопараметрическое семейство интегральных кривых – синусоиды, а второе – особые решения, являющиеся огибающими этого семейства.
Существует другой способ нахождения особого решения уравнения (5). Предположим, что уравнение (5) имеет общий интеграл . Составляем следующую систему:
Исключив параметр
С, получим дискриминантную кривую
.
Если вдоль этой кривой
,
то эта кривая будет огибающей данного
семейства интегральных кривых, и
следовательно, особым решением.
Пример 8. Найти особые решения уравнения
.
Решение. Функция
будет общим решением исходного уравнения. Особое решение, если оно существует, определяется системой:
Исключив параметр С, получим дискриминантную кривую . Очевидно, что
,
т.е. на кривой . Следовательно, есть особое решение.