Министерство образования и науки Российской Федерации Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова

Институт математики и информатики

УРОВНЕВЫЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ПО КУРСУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

(Дифференциальные уравнения первого порядка,

разрешенные относительно производной)

Часть 1

Якутск - 2010

УДК 517.1 Утверждено Учебно-методическим ББК

22.161.6я73 советом ЯГУ 25.02.2010 протокол № 1

Составители:

к.ф-м.н., доцент М.П. Григорьев

к.ф-м.н., доцент Н.А. Романова

к.ф-м.н., профессор Е.Т. Софронов

д.т.н., профессор Ю.И. Трофимцев

доцент Ю.Т. Половинкин

Рецензент: к.ф-м.н., доцент В.Е.Федоров

Уровневые индивидуальные задания по курсу дифференциальных уравнений. Часть 1 (учебно-методическое пособие) / Григорьев М.П., Романова Н.А., Софронов Е.Т., Трофимцев Ю.И., Половинкин Ю.Т. – Якутск: Изд. ЯГУ, 2010. – 76 с.

Пособие предназначено для студентов направления «Математика», «Прикладная математика и информатика». В пособии приводятся теоретические сведения, примеры решения задач, разноуровневые индивидуальные задания, вопросы и задачи для повторения по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной». Пособие может быть использовано для студентов естественнонаучных специальностей вузов.

© Григорьев М.П., Романова Н.А., Софронов Е.Т., Трофимцев Ю.И.

Половинкин Ю.Т.

Дифференциальные уравнения первого порядка

§ 1. Основные понятия и определения

В этой главе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида

= , (1)

где - заданная функция двух переменных. Во многих случаях переменные и в уравнении (1) равноправны. Это дает основание, наряду с уравнением (1), рассматривать и уравнение

= , (2)

а также уравнение, записанное в виде:

(3)

Решением дифференциального уравнения (1) называют дифференцируемую функцию , определенную на интервале и превращающую это уравнение в тождество на (аналогично определяется решение уравнения (2) или (3)).

Основная изучаемая задача для уравнения (1) – это задача Коши с начальными данными , т.е. задача о нахождении такого решения , для которого . Существование решений определяется свойствами функции .

Теорема 1 (Пеано). Если функция определена и непрерывна в области , то для любой точки существует хотя бы одно решение задачи Коши с начальными данными .

Рассмотрим, например, уравнение

= (4)

где . Любую точку , , можно представить в виде , где - решение уравнения (4):

(5)

Точно так же можно найти решение и для точки , .

Заметим, что теорема 1 не исключает случая, когда условие выполняется более чем для одного решения . Например, для (4) бесконечно много решений удовлетворяют условию ; именно ему удовлетворяет любое решение вида (5) при , а также решение .

Точка называется точкой единственности решения, если для любых двух решений и задачи Коши с начальными данными найдется промежуток , содержащий точку , на котором и совпадают. Область, все точки которой являются точками единственности, называется областью единственности.

Теорема 2 (Коши). Если функции и определены и непрерывны в области , то G – область единственности.

Заметим, что хотя функция = непрерывна в области , её производная

непрерывна только в области ; в нуле она не определена. Мы уже отмечали, что точки , , принадлежат бесконечному множеству решений уравнения (4).

С другой стороны, функция и её производная =1 непрерывны на всей плоскости . Любая точка принадлежит одному и только одному решению уравнения , а именно , где .

График решения уравнения (1) называется интегральной кривой этого уравнения.

Если функция непрерывна на G, то теорема 1 утверждает, что интегральные кривые сплошь заполняют область G. Это следует из того, что каждая точка G должна лежать по крайней мере на одной интегральной кривой. Если обе функции и непрерывны в G, то из теоремы 2 следует, что через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая.

Пусть G – область единственности для уравнения (1). Непрерывная функция называется общим решением уравнения (1) в области , если для любой точки уравнение имеет единственное решение , и функция является решением задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными .

Общее решение в неявной форме (не разрешенное относительно y) называется общим интегралом уравнения (1).

Решение называется частным, если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи Коши. Решение, получающееся из общего решения при конкретном (допустимом) числовом значении произвольной постоянной (включая ), очевидно, является частным решением.