7. Точки экстремума функции.

Определение. Функция f(x) во внутренней точки области определения x₀ имеет точку максимума (минимума), если найдется окрестность точки x₀, в которой значение функции f(x₀) будет наибольшим (наименьшим) значением, т.е.

(для максимума),

(для минимума).

Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в точке экстремума, называют максимумом или минимумом функции.

Y

0 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ X

На отрезке может быть несколько экстремумов.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).

Если функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо ее производная равна нулю.

Доказательство: Пусть точка x₀ – точка экстремума. В этой точке функция дифференцируема. Так как эта точка – точка экстремума, то значение функции в этой точке наибольшее (наименьшее)

Тогда по теореме Ферма f '(x₀) = 0 , что и требовалось доказать.

Пример. Y

y=|x|

0 X

В точке x = 0 функция не дифференцируема.

Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то касательная к графику функции в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Теорема 2. (Достаточное условие существования максимума и минимума функции).

Пусть функция f(x) имеет точку x₀, которая является критической для данной функции, и в этой точке функция непрерывна, тогда,

• если при переходе через точку x₀, производная меняет знак “+” на “-” то в этом случае точка x₀ – точка максимума;

• если же при переходе через точку x₀, производная меняет знак “-” на “+” то в этом случае (.) x₀ – точка минимума.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда при переходе f(x) меняет знак с “+” на “-” . Возьмем точку , тогда на отрезке между и для f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа

.

Если , то производная функции в точке c ,

a .

При , ,

откуда - точка максимума, что и требовалось доказать.

Пример. Область определения .

, y’=0.

, , .

- точка максимума,

- точка минимума.

y’

+ - - - - +

x

-2* -2 0 +2 +2*

8. Наибольшее значение и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке принимает свое наибольшее и наименьшее значение.

Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо в точках экстремума, либо на концах отрезка, поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках экстремумов, или в критических точках. Из найденных таким образом значений выбираем наибольшее (наименьшее).

Пример. на [-1,4].

f(0) = -4 ; f(-1) = -8; f(2) = - 8; f(4) = 12 .

D(y) = R; .

y' = 0 , при x = 0 или x = 2.

Наибольшее значение y = 12, наименьшее - y = -8.