Найти собственные векторы матрицы:

• для каждого  _j решить уравнение

(A- _jE)x=0;       (1.5)

• найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению  _j.

Пример1

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: ₁=1 кратности m₁=2 и ₂=-1 кратности m₂=1. Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для ₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для ₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для ₂=-1. В данном случае будет один вектор:

Характеристическая матрица

Характеристическая матрица — это многочлен, определяющий собственные значения матрицы.

— это многочлен .

Определение

Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λE) является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A.

Связанные определения

• Матрицу вида A − λE называют характеристической матрицей матрицы А, где Е — единичная матрица.

• Уравнение χ(λ) = 0 называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

• Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень n.

• Корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.

• (Теорема Гамильтона — Кэли): если χ(λ) — характеристический многочлен матрицы A, то χ(A) = 0.

Характеристическое уравнение

1) Х. У. Матрицы — алгебраическое уравнение вида

        определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы. Матрица А = ||a_ik||ⁿ₁ вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

        где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида i < k) и т.д., а S_n — определитель матрицы А. Корни Х. у. λ₁, λ₂,..., λ_n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все λ_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все λ_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |λ_k| = 1.

         Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение.

2) Х. У. Линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

         a₀λy ⁽ⁿ⁾ + a₁y ^(n-1) +... + a_n-1y' + a_ny = 0

        — алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины λ, т. е. уравнение

         a₀λⁿ + a₁λ^n-1 +... + a_n-1 y' + a_ny = 0.

        К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се^λх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

         _{Х. у. записывается при помощи определителя}

         _{Х. у. матрицы A =}

Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Собственное значение матриц

В инете простого объяснения не нашёл, поэтому своими словами... Есть матрица

|a11 a12 a13|

А= |a21 a22 a23|

|a31 a32 a33|

собственные значения этой матрицы - это корни "векового" или характеристического уравнения: определитель следующей матрицы равен нулю

|(a11-k) a12 a13 |

| a21 (a22-k) a23 | = 0

| a31 a32 (a33-k)|

или в общем виде: det(A-kE)=0, где E-единичная матрица. Количество корней этого уравнения или собственных значений равно порядку матрицы. В данном примере матрица третьего порядка, значит собственных значений три (k1, k2, k3). К данному уравнению сводятся некоторые технические задачи, например, задача на определение частот собственных колебаний системы с несколькими степенями свободы. В этом случае, коэффициенты aij - это смещения сосредоточенных масс от единичных инерционных сил, приложенных в направлении их движения умноженные на величины этих масс, а собственные значения ki = 1/wi^2, где wi - частоты собственных колебаний.

Теорема. В треугольной матрице элементы, стоящие на главной диагонали, и будут являться собственными значениями матрицы.

Если – собственное значение А, то собственными векторами А, принадлежащими собственному значению , будут ненулевые решения системы

                                                      ,                                                           (6)

, где .

Собственным вектором квадратной матрицы M называется вектор , который удовлетворяет соотношению , где — собственное значение, соответствующее данному собственному вектору.

Свойства

 Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.

 Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

• Собственные векторы, самосопряженного оператора А соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Т. е. если , и , то

Пример1

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: ₁=1 кратности m₁=2 и ₂=-1 кратности m₂=1. Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для ₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для ₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для ₂=-1. В данном случае будет один вектор:

Подобие числовых матриц

Квадратные матрицы и n-го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что

Преобразование матрицы по формуле называется преобразованием подобия, а матрица — преобразующей.

Свойства подобных матриц

1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: .

2. Если матрица подобна матрице , то и подобна

при .

3. Если матрица подобна матрице , а подобна , то подобна

, где .

4. Подобие является частным случаем эквивалентных преобразований.

5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы являются конгруэнтными.

Поясним свойства 4, 5. Напомним, что эквивалентные матрицы связаны соотношением , где и — невырожденные (элементарные) матрицы. Если , то получаем преобразование подобия . Если же матрица ортогональная , то подобные матрицы, связанные равенством , оказываются конгруэнтными, так как .

Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица n-го порядка приводилась к диагональному виду , необходимо и достаточно, чтобы она имела линейно независимых собственных векторов.

Действительно, запишем равенство в виде , т.е.

или , где — столбцы матрицы . Отсюда получаем систему уравнений для столбцов матрицы

Поэтому, если матрицу можно привести преобразованием подобия к диагональному виду , то для столбцов матрицы выполняются равенства (7.18), т.е. столбцы являются собственными векторами матрицы , причем они линейно независимы, так как матрица невырожденная. Необходимость доказана. Пусть, наоборот, матрица имеет линейно независимых собственных векторов , удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу , получим для нее равенство , равносильное (7.18). Учитывая, что матрица невырожденная (из-за линейной независимости ее столбцов), получаем , т.е. матрица подобна диагональной. Достаточность доказана.

Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.

Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.

Следствие 2. Если матрица приводится к диагональному виду , то числа (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы , а столбцы преобразующей матрицы являются соответствующими собственными векторами матрицы .

Следствие 3. Если — линейно независимые собственные векторы матрицы , соответствующие ее собственным значениям (среди которых могут быть равные), то матрица приводится к диагональному виду при помощи преобразующей матрицы , составленной из собственных векторов.