Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n. Определение. Многочлен n-ой степени

P()=det(A-Е)     (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=х,      (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число  называется собственным значением. Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=х,     (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. Определение. Алгебраической кратностью собственного значения _j называется кратность корня _j характеристического многочлена. Определение. Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

1. Найти собственные значения матрицы:

   • записать характеристическое уравнение:

det(A-Е)=0;        (1.4)

• найти его корни  _j, j=1,...,n и их кратности.