Скалярний добуток векторів

Означення 16. Скалярним добутком · векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута 𝜑 між ними (рис. 3.1.16): · = · · .

Очевидно, що кут між двома векторами · визначатиметися іх співвідношення:

.

(3.1.8)

Оскільки проекція вектора на вектор визначається за формулою:

·

(

3.1.9)

т

о скалярний добуток можна записати у вигляді:

·

(

3.1.10)

З

Рис. 3.1.16

означення 16 також можна одержати нову формулу для проекції вектора на вектор :

= ·

, де - орт вектора Безпосередньо з означення скалярного добутку випливає, що якщо кут 𝜑=0, то · = · · = , а при 𝜑= , · = · · =0.

Твердження 8. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю: ⊥ ⇔ ·

Оскільки координатні орти взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину, то для скалярних добутків цих векторів справедливі наступні співвідношення:

, , , , , , , , .

Властивості скалярного добутку

– переставна властивість; – розподільна властивість; · λ( ) – сполучна властивість; - скалярний квадрат вектора.

З властивості 4 випливає важлива формула для модуля вектора:

Скалярний добуток векторів, заданих у координатній формі

Нехай вектори і задані в координатній формі , . Тоді скалярний добуток векторів і з урахуванням наведених вище співвідношень для координатних ортів набуває вигляду:

( )· )= + +

,(3.1.11)

Очевидно, що кут 𝜑 між двома векторами і визначатиметься із співвідношення:

(3.1.12)

Тоді умова перпендикулярності векторів і (𝜑= ) набуває вигляду:

+ +

Проекція вектора на вектор обчислюється за формулою:

(3.1.13)

Слід зауважити, що скалярний добуток має також простий фізичний зміст – це робота сили при прямолінійному переміщенні матеріальної точки вздовж напрямку , який утворює кут 𝜑 з силою : А = · ⇨ А=

Приклад 2. Вектори і утворюють кут 𝜑= . Знайти довжину вектора - , якщо

Розв’язок. На рис. 3.1.1, д зображені вектори , ,

Одержаний результат є відомою теоремою косинусів для трикутника. Отже, .•

Приклад 3.Задані вектори поганий ксерокс – які вектори? Знайти:

а) кут між векторами і ; б) довжину вектора - ; в) проекцію вектора на напрям вектора

Розв’язок. а) Кут між векторами і визначається із співвідношення: = = ⇨𝜑=45 .

б) Довжину вектора знаходимо за формулою = .

в) проекцію вектора на напрям вектора обчислюємо за формулою: =

Приклад 4. Задані вектори і , При яких значеннях вектори і колінеарні?

Розв’язок.

І

з умови колінеарності:

Приклад 5. Знайти довжину вектора і його напрямні косинуси.

Розв’язок.

, .•