
- •§3.1. Вектори на площині і в просторі Означення і позначення векторів
- •Коленіарність і компланарність векторів
- •Лінійні операції над векторами
- •Проекція вектора на вісь
- •Властивості проекцій
- •Лінійна залежність векторів
- •Декартова (прямокутна) система координат
- •Скалярний добуток векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •Скалярний добуток векторів, заданих у координатній формі
- •Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •Мішаний добуток векторів
- •Властивості мішаного добутку векторів
- •Подвійний векторний добуток
Скалярний добуток векторів
-
Означення 16. Скалярним добутком · векторів і називається число, що дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута 𝜑 між ними (рис. 3.1.16):
· = · ·
.
Очевидно, що кут між двома векторами · визначатиметися іх співвідношення:
-
.
(3.1.8)
Оскільки проекція вектора на вектор визначається за формулою:
-
·
(
3.1.9)
т
о скалярний добуток можна записати у вигляді:
· ![]() |
(
3.1.10)
З
Рис. 3.1.16
означення 16 також можна одержати нову формулу для проекції вектора на вектор :
|
,
де
-
орт вектора
Безпосередньо
з означення скалярного добутку випливає,
що якщо кут 𝜑=0,
то
·
=
·
·
=
,
а при 𝜑=
,
·
=
·
·
=0.
Твердження 8. Вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю:
|
Оскільки координатні орти взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину, то для скалярних добутків цих векторів справедливі наступні співвідношення:
|
Властивості скалярного добутку
|
З властивості 4 випливає важлива формула для модуля вектора:
|
Скалярний добуток векторів, заданих у координатній формі
Нехай
вектори
і
задані в координатній формі
,
.
Тоді скалярний добуток векторів
і
з
урахуванням наведених вище співвідношень
для координатних ортів набуває вигляду:
|
,(3.1.11)
Очевидно, що кут 𝜑 між двома векторами і визначатиметься із співвідношення:
|
(3.1.12)
Тоді умова перпендикулярності векторів і (𝜑= ) набуває вигляду:
+
+ |
Проекція вектора на вектор обчислюється за формулою:
|
(3.1.13)
Слід
зауважити, що скалярний добуток має
також простий фізичний зміст – це
робота сили
А
=
|
Приклад
2.
Вектори
і
утворюють
кут 𝜑=
.
Знайти довжину вектора
-
,
якщо
Розв’язок.
На рис. 3.1.1, д зображені вектори
,
,
Одержаний
результат є відомою теоремою косинусів
для трикутника. Отже,
.•
Приклад 3.Задані вектори поганий ксерокс – які вектори? Знайти:
а)
кут між векторами
і
;
б) довжину вектора
-
;
в) проекцію вектора
на напрям вектора
Розв’язок.
а) Кут між векторами
і
визначається із співвідношення:
=
=
⇨𝜑=45
.
б)
Довжину вектора
знаходимо за формулою
=
.
в)
проекцію вектора
на напрям вектора
обчислюємо за формулою:
=
Приклад
4.
Задані вектори
і
,
При
яких значеннях
вектори
і
колінеарні?
Розв’язок.
І
Приклад
5.
Знайти довжину вектора
і
його напрямні косинуси.
Розв’язок.
,
.•