Глава 7. Полупроводниковые приборы свч

7.1 Элементы полупроводниковой электроники.

7.1.1 Энергетический спектр электронов в полупроводнике.

Важнейший принцип квантовой механики утверждает, что вся материя, включая электроны, ведет себя и как частицы, и как волна. Например, электроны как частицы обладают массой

,

где - масса покоя, - скорость электрона, - скорость света; импульсом и энергией (кинетическая энергия - ). А как волны электроны описываются так называемой волновой функцией , которой присуще то свойство, что величина есть вероятность Р нахождения частицы в малом объеме dx dy dz. Поэтому функция называется амплитудой плотности вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Волновая функция электрона удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

(7.1)

где г — вектор с координатами (х, у, z) a U(r) — потенциальная энергия, ( - постоянная Планка). Решение этого уравнения для свободной частицы ( ) можно представить в форме

В результате разделения переменных получаются решения:

где - энергия электрона;

где волновой вектор к выражается как

Общее решение может быть записано в виде плоских волн де-Бройля:

где , .

Фазовая скорость волны:

,

а групповая скорость:

.

В отдельном атоме для нахождения решения уравнения Шредингера необходимо учесть потенциальную энергию. Например, для атома водорода, обладающего кулоновским потенциалом:

здесь q — заряд электрона, — диэлектрическая проницаемость вакуума, решение (7.1) приводит к дискретным значениям энергии:

где n=1,2,3, ... — главное квантовое число,

называется боровской энергией а

— боровским радиусом .

Кулоновский потенциал и несколько нижних энергетических уровней атома водорода показаны на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Зависимость кулоновского потенциала и нижних уровней энергии атома водорода от расстояния.

В твердом теле за счет сближения атомов наблюдается перекрытие кулоновских потенциалов, как изображено на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Схема образования энергетических зон в кристаллах:

а — расположение атомов в одномерном кристалле; 6 — распределение внутрикристаллического потенциального поля; в — расположение энергетических уровней в изолированном атоме; г — расположение энергетических зон.

В результате электрон с одного уровня в каком-либо из атомов может перейти на уровень в соседнем атоме без затраты энергии и, таким образом, свободно перемещаться от одного атома к другому. Иными словами, происходит обобществление электронов. Разумеется, что полное обобществление происходит лишь с теми электронами, которые находятся на внешних электронных оболочках. Чем ближе электронная оболочка к ядру, тем сильнее ядро удерживает электрон на этом уровне и препятствует перемещению электронов от одного атома к другому. Следствие сближения атомов приводит к появлению на энергетической шкале вместо отдельных уровней целых энергетических зон (рис. 7.2, г), т. е. областей таких значений энергий, которыми может обладать электрон, находясь в пределах твердого тела. Ширина зоны должна зависеть от степени связи электрона с ядром. Чем сильнее эта связь, тем меньше расщепление уровня, т. е. тем уже зона. В изолированном атоме имеются запрещенные значения энергии, которыми не может обладать электрон. Нечто аналогичное происходит и в твердом теле.

Решение уравнения показывает, что зависимость энергии от волнового вектора или импульса , которую называют энергетическим спектром, в разрешенной зоне имеет периодический характер:

,

где - вектор, определяющий координаты обратной решетки. Обратная решетка определяется как набор точек в k-пространстве, соответствующих концам вектора в соответствии с уравнением

,

где -векторы кристаллической решетки, - базисные векторы кристаллической решетки, -целые числа.

Базисные векторы обратной решетки связаны с базисными векторами кристаллической решетки с помощью следующих соотношений:

.

Для одномерной решетки , . В пределах разрешенной зоны энергия непрерывно зависит от , а на границах терпит разрыв. Зоны непрерывной зависимости носят название зон Бриллюэна. В одномерном кристалле при изменении волнового импульса (квазиимпульса) от до имеем первую зону Бриллюэна, при изменении от до и от до получим вторую зону и т. д., как представлено на рис. 7.3.

Рис.7.3. Зависимость энергии от волнового вектора вдоль некоторого направления.

Однако возможно другое представление. В силу периодической зависимости энергии от волнового вектора участки кривых, указанные на рис. 7.3 сплошной линией, могут быть перенесены в первую зону Бриллюэна. В этом случае энергия является многозначной функцией от волнового вектора, но для каждой энергетической зоны, или полосы, энергия однозначна, как изображено на рис. 7.4.

Рис. 7.4 Спектр энергии в основной зоне Бриллюэна