20. Доказательство следствия о геометрической интерпретации множества оптимальных смешанных стратеги
й.
21. Доказательство критерия частного решения игры в смешанных стратегий.
22. Доказательство критерия цены игры и оптимальных смешанных стратегий в терминах множеств чистых стратегий игроков.
Т. Для того, чтобы V была ценой игры, а P0, Q0- оптимальными стр.ми иг-ов А и В, ⇔ выполнение двойного нерав-ва
,
(1)
Док-во.
Достаточно установить эквивалентность
нерав-тв (2) и (1), где 
(2)
Пусть
справедливо нерав-во (2). Т.к. оно имеет
место ∀стр-ий
,
то оно справедливо и ∀чистыхстр-ий
,
т.е. справедливо двойное нерав-во (1).
Итак, показано, что из нерав-ва (2) следует
нерав-во (1). Докажем обратное следствие:
из (1) => (2)
Пусть
имеет место (1). Тогда, по формулам 
и
,
из него получим:
Значит,
справедливо нерав-во (2).Доказана
эквивалентность (2)
(1) и соответственно Т.
23. Понятие седловой точки функции. Критерий цены игры и оптимальных смешанных стратегий в терминах выигрыш-функции и ее седловых точек.
седловая точка игры – ситуация, удовлетворительна для обоих игроков, т.е. когда игроки А и В придерживаются своих максиминной и минимаксной стратегий соответственно, то ни один из них не может увеличить свой выигрыш отступая от своей стратегии: aij0≤ai0j0≤ai0j, i=1…m, j=1,…,n,или αi0=ai0j0=βjo
Т.
Для того, чтобы V
была ценой игры, а P0,
Q0-
оптимальными стр.ми иг-ов А и В⇔чтобы
(P0,
Q0)
была седл. точкой ф-ии выигрыша 
и H(P0,
Q0)
= V
(1)
Док-во.Необх-ть. Пусть V – цена игры и P0, Q0 — опт.стр-ии. Следовательно, по необх. частиТ о критерии частного решения игры в смеш.стр-ях в терминах ф-ии выигрышей и мн-твсмеш.стр-ийиг-ов, выполняется нерав-во
∀ (2).
Но
тогда, как доказано в дост. части тойже
Т, имеет место нерав-во
(3), которое по опр.
(4)
означает, что (P0,
Q0)
— седл. точка ф-ии выигрыша
.
Т.к.V – цена игры и P0, Q0 — опт. стр-ии, то рав-во (1) выполняется по опр.. Необх-ть доказана.
Дост-ть. Пусть (P0, Q0) — седл. точка ф-ии выигрыша и имеет место (1). По опр. (4) седл. точки справедливо (3). Подставим в него (1), получим (2), из которой, по дост. части Т о критерии частного решения игры в смеш.стр-ях в терминах ф-ии выигрышей и мн-твсмеш.стр-ийиг-ов, вытекает, что V – цена игры, P0, Q0 — опт. стр-иииг-ов А и В.
Критерий цены игры и оптимальных смешанных стратегий.
Если верхняя и нижняя цены игры в смешанных стратегиях совпадают, то их общее значение называется ценой игры в смешанных стратегиях, а стратегии Р и Q будут оптимальными стратегиями. Оптимальные стратегии обладают тем свойством, что если один игрок придерживается своей оптимальной стратегии, то второму невыгодно отклонятся от своей оптимальной стратегии. Т.е. цена игры в смешанных стратегиях V не меньше нижней цены игры в чистых стратегиях и не больше верхней цены игры в чистых стратегиях.
Полным решением игр в смешанных стратегиях называется совокупность [SОА:SОВ; V]. Любая пара оптимальных стратегий P, Q и цены игры V образуют частное решение в смешанных стратегиях.
Теорема Неймана. Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегия, т.е. существует цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P и Q соответственно игроков А и В.