17. Доказательство основной теоремы теории игр Дж. Фон Неймана.

Или основная теорема матричных игр Дж. фон Неймана: любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существует цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии Р^ои Q^o соответственно игроков А и В.

18. Доказательство критерия оптимальных смешанных стратегий в терминах данной цены игры, выигрыш-функции и множеств смешанных стратегий игроков.

Т. Пусть V – цена игры, H(P, Q) – ф-ия выигрыша, S_Aи S_B – мн-ва смеш.стр-ий соответственно иг-овА и В.

1. Для того чтобы стр.P⁰иг-ка А была опт.⇔чтобы выполнялось нерав-воH(P⁰, Q) ≥ V∀QS_B, (1) т.е. выбор игроком Аопт.стр-ииP⁰ гарантирует ему выигрыш H(P⁰, Q), не меньший цены игры V, при любой стр-ииQиг-каВ.

2. Для того чтобы стр.Q⁰иг-каВ была опт.⇔чтобы выполнялось нерав-воH(P, Q⁰) ≤ V∀PS_A,(2) т.е. выбор игроком В одной из своихопт. стр-ийQ⁰ гарантирует ему проигрыш, не больший цены игры V, при любой стр-ииPиг-каА.

Док-во.Докажем утв. 1.

Необх-ть. Пусть P⁰ – опт.стр.иг-каА. Тогда по основной Т матричных игр фон Неймана пок-льэфф-тиα(P⁰) стр-ииP⁰ равен цене игры VV = α(P⁰). (3)

Рассматривая α(P⁰) как пок-льэфф-тиα(P⁰, S_B) стр-ииP⁰ относ. мн-ваS_Bсмеш.стр-ийиг-каВ, будет иметь по опр. Из рав-тв (3) и (4) получаем нерав-во (1) и Необх-ть доказана.

Дост-ть. Пусть для некоторой стр-ииP⁰ иг-каА выполняется нерав-во (1). Для доказательства опт-тистр-ииP⁰ достаточно показать справедливость рав-ва изТ фон Неймана: α(P⁰) = V. (5) Т.к. нерав-во (1) выполняется ∀стр-ииQS_Bиг-каВ, то Но Совокупность (6) и (7) эквивалентна рав-тву (5). Дост-ть доказана.

Итак, утв. 1 доказано.

Докажем утв. 2. Рассуждения аналогичные.

Необх-ть. Пусть Q⁰ является опт. стратегией иг-каВ. Тогда, рассматривая β(Q⁰) как пок-льβ(Q⁰, S_A) неэфф-тистр-ииQ⁰ относ. мн-ва S_Aсмеш.стр-ийиг-каА в силу утв. Т фон Неймана и получим: откуда получаем нерав-во (2).

Дост-ть. Пусть для некоторой стр-ииQ⁰ иг-каВ справедливо нерав-во (2). Т.к. это нерав-во выполняется ∀стр-ииPS_Aиг-каА, то оно будет справедливым и для т.е. Но и Из нерав-тв (8) и (9) получаем рав-во которое в силу Т фон Неймана означает, что стр.Q⁰ является опт.

19. Доказательство критерия оптимальных смешанных стратегий в терминах данной цены игры, выигрыш-функции и множеств чистых стратегий игроков.

Теорема (критерий оптимальных стратегий)

Пусть V-цена игры, Н(P,Q)-выигрыш-функция, S_A и S_B- множество смешанных стратегий соотв игроков А и В.

1. Для того чтобы стратегия Р⁰ игрока А была оптимальной необходимо и достаточно чтобы выполнялось равенство: Н(Р⁰,Q)>=V для любого Q∈S_B то есть выбор игроком А оптимальной стратегии Р⁰ гарантирует ему выигрыш Н(P⁰,Q) НЕ МЕНЬШЕЙ ЦЕНЫ ИГРЫ V, при любой стратегии Q игрока В.

2. Для того чтобы стратегия Q⁰ игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: Н(Р,Q⁰)<=V для любого Р ∈SA т.е. выбор игроком В оптимальной стратегии Q⁰ гарантирует ему проигрыш Н(Р,Q⁰), не больший цены игры V при любой стратегии Р игрока А.

Теорема остается справедливой если в ее формулировке множ смещанных стратегий S_A и S_Bзаменить соответственно на множ чистых стратегий S^C_A ИS^C_B

Доказательство

1. Необходимость. Пусть P⁰ –оптимальная стратегия игрока А. тогда по теореме фон неймана показатель эффективности α(P⁰) стратегии P⁰ равен цене игры V.

V=α(P⁰)

Рассматривая α(P⁰)как показатель эффективности α(P⁰, S_B)стратегии Р⁰ относительно множества S_Bсмешанных стратегий игрока В, будем иметь по определению

α(P⁰)= α(P⁰, S_B)=minH(P⁰,Q) при Q∈S_B чтд

Достаточность. Пусть для некоторой стратегии P⁰ игрока А выполняется неравенство (Р⁰,Q)<=V для любого Р∈S_A. Для токазательства достаточно показать справедливость равенства α(P⁰)=V

Так как неравенство выполняется для любой стратегии Q∈S_B игрока В, то

α(P⁰)= α(P⁰, S_B)=minH(P⁰,Q)>=V

но цена игры V равна нижней цене игры, по определению которой

V=V_=maxα(P)>= α(Р⁰). Достаточность доказана

Чтд.

2. Необходимость. Пусть Q⁰ –оптимальная стратегия игрока В. Тогда, рассматривая β(Q⁰) как показатель β(Q⁰,S_A) неэффективности стратегии Q⁰ относительно множества S_A смешанных стратегий игрока А будем иметь:

V= β(Q⁰)= β(Q⁰,S_A)=maxH(P,Q⁰), откуда получаем Н(Р⁰,Q)<=V для любого Р ∈SA

Достаточность.

Пусть для некоторой стратегии Q⁰ игрока В справедливо неравенство Н(Р⁰,Q)<=V для любого Р ∈SA, а значит и для maxH(P,Q⁰), то есть β(Q⁰) )= β(Q⁰,S_A)= maxH(P,Q⁰)<=V. НО V=V(верхняя граница)=min β(Q)<= β(Q⁰)

Из неравенст получаем равенство V= β(Q⁰) которое означает что стратегия является оптимальной.чтд