15. Теорема о соотношении между нижней и верхней ценами игры в смешанных и чистых стратегиях. Теорема:

Нижняя цена игры α и верхняя цена игры β в чистых стратегия нижняя цена игры V и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:

Доказательство:

Начнем доказательство с левого неравенства.

По определению нижней цены в смешанных стратегияхV

Здесь правая частьVне зависит от Р и потому это неравенство остается верным и для Р=A_i, i=1,..,m:

Так как полученное неравенство справедливо для всех i=1,…,m, то оно будет справедливым в частности для того номера I, который максимизирует показатель эффективности α_i:

Итак, первое из неравенств доказано.

Докажем второе: . Для любых по и имеем:

(1)

Соотношение (1) означает, что в любой ситуации в смешанных стратегиях (P,Q) выигрыш H(P,Q) игрока А не меньше показателя эффективности α(Р) его стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В.

Так как (1) справедливо для всех , то из него следует, что

Наконец, докажем последнее неравенство. В силу определения верхней цены игры в смешанных стратегиях

В частности, это неравенство справедливо и для чистых стратегий Q=B_j, j=1,…,n, игрока В

И, следовательно, неравенство остается в силе и для того номер j, который минимизирует показатель неэффективности стратегии B_j, т.е.

Чтд.

Если нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях совпадают, то их общее значение V= = называется ценой игры в смешанных стратегиях. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях α и β и цены игры в смешанных стратегиях V связаны между собой неравенствами α≤V≤β.

Стратегии P^O и Q^O соответственно игроков А и В, удовлетворяющие равенствам V=α(P^O)=β(Q^O) (и тогда это общее значение очевидно равно H(P^O,Q^O)), называется оптимальными смешанными стратегиями игроков А и В.

Таким образом, оптимальные смешанные (в частности, чистые) стратегии P^O и Q^O соответственно игроков А и В обладают тем свойством, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то противнику невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Множество оптимальных смешанных стратегий соответственно игроков А и В обозначим через (S_A)^О и (S_B)^О.

Полным решением игры в смешанных стратегиях называется трехэлементная совокупность {(S_A)^O,(S_B)^O,V}. Любая пара оптимальных стратегий P^O и Q^O соответственно игроков А и В и цена игры в смешанных стратегиях V образуют частное решение в смешанных стратегиях.

16. Цена игры в смешанных стратегиях. Оптимальные смешанные стратегии. Полное и частное решения игры в смешанных стратегиях.

Цена игры в смешанных стратегиях – общее значение нижней и верхней цены игры в смеш.стратегиях: V= относительно которых доказано, что они всегда существуют и равны.

Нижняя цена:

Верхняя цена игры:

Если нижняя Vи верхняя цены игры в смешанных стратегиях совпадают, то их общее значение V — V = называется ценой игрыв смешанных стратегиях. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стра­тегиях и и цена игры в смешанных стратегиях V связаны между собой неравенствами <V< .

Стратегии P° и Q°соответственно игроков А и В, удовлетворяющие равенствам V — а(Р°) = (Q°)(и тогда это общее значение очевидно равно Н(Р°, Q°)),называются оптимальными смешанными стратегия­ми соответственно игроков A и В.

Таким образом, оптимальные смешанные (в частности, чистые) стратегии Р° и Q⁰соответственно игроков А и В обладают тем свой­ством, что если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то противнику невыгодно отклоняться от своей оптималь­ной стратегии.

Множества оптимальных смешанных стратегий соответственно игроков А и В обозначим через (S_A)°и (S_B)°.

Полным решением игры в смешанных стратегиях называется трех­элементная совокупность {(S_A)°,(S_B)°, V}. Любая пара оптималь­ных стратегий Р° и Q⁰соответственно игроков А и В и цена игры в смешанных стратегиях V образуют частное решение в смешанных стратегиях.