12. Определение и существование показателя эффективности смешанной стратегии игрока а относительно множеств смешанных и чистых стратегий игрока в.

Пок-льэфф-тисмеш.стр-ииР S иг-ка А – общее значение показателей эфф-тистр-ий Р относ.мн-твсмеш. и чистых стр-ийиг-ка В (доказано, что , эти показатели всегда равны).

Число α(Р; S_B),определенное рав-вом назовем Пок-емэфф-тисмеш.стр-ии Р S_А иг-ка А относ.мн-ва S_Bсмеш.стр-ийиг-каВ.

Если в этом определении мн-восмеш.стр-ийS_Bиг-каВ заменить на мн-во его чистых стр-ий, то получим опр.пок-ляэфф-тисмеш.стр-ии P S_Aиг-ка А относ.мн-ва чистых стр-ийиг-ка В: В частности, если Р = А_i — чистая стр., то из (2) в силу H(P,Q) = H(А_i, В_j) = a_ij= F(А_i, В_j) = F(P,Q) и будем иметь т.е. α(Р; ) при Р = A_iпревращается в пок-льэфф-тиα_i чистой стр-ииА_iотнос.мн-ва чистых стр-ийиг-каВ.

Т: показатели эфф-ти любой смеш. (в частности, чистой) стр-ииР S_Aиг-ка А относ.мн-тв и S_Bчистых и смеш.стр-ий противника В равны, т.е.

13. Определение и существование показателя неэффективности смешанной стратегии игрока в относительно множеств смешанных и чистых стратегий игрока а.

Число β(Q; S_A),определенное рав-вом

назовем Пок-ем неэфф-тисмеш.стр-ии Q S_Bиг-каВ относ.мн-ва S_Aсмеш.стр-ийиг-ка А, а число — Пок-ем неэфф-тисмеш.стр-ии Q иг-ка В относ.мн-ва чистых стр-ийиг-ка А.В частности, если смеш.стр.Q является чистой В_j, то из (2), H(P,Q) = H(А_i, В_j) = a_ij= F(А_i, В_j) = F(P,Q) и

будем иметь Для показателей неэфф-тисмеш.стр-ийиг-каВ имеет место Т: показатели неэфф-ти любой смеш. (в частности, чистой) стр-ииQ S_Bиг-ка В относ.мн-тв и S_Aчистых и смеш.стр-ийиг-ка А равны, т.е.

14. Определения нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях и их существование; минимаксные и максиминные смешанные стратегии игроков.

Нижней ценой(или максимином)матричной игры в смеш.стр-яхназывается величина Верхней ценой(или минимаксом)матричной игры в смеш.стр-яхназывается величина

Лемма 1. Соответствие, сопоставляющее каждой смеш.стр-ии Р S_Aиг-ка Апок-ль ее эфф-тиα(Р),является числовой функцией, определенной на симплексе S_A,аналитическое выражение которой задается рав-вом Аналогично, соответствие β(Q),задаваемое формулой является числовой функцией, определенной на симплексе S_Bи ставящей в соответствие каждой смеш.стр-ии Q S_Bиг-ка В пок-ль ее неэфф-ти β(Q).Известно, что является числовой функцией векторного аргумента Q, определенного на симплексе S_B.

Лемма 2.Ф-ии α(Р) и β(Q)непрерывны в своих областях определения S_Aи S_B. Оставим без доказательства.

Т 2.∀ конечной матричной игры ∃ нижняя и верхняя цены игры в смеш.стр-ях.

Док-во.Т.к.ф-ияα(Р)по лемме 2 непрерывна на компакте S_A, то она достигает на этом мн-ве своего максимума, т.е. ∃ нижняя цена игры в смеш.стр-ях: Аналогичным образом обосновывается сущ-ие и верхней цены игры в смеш.стр-ях: Смеш.стр.P^О S_A,максимизирующая пок-льэфф-тиα(Р) (сущ-ие которой доказано в Т 2), назовем максиминной смеш. стратегией иг-ка А. Т.о., ниж няя цена игры есть (см. 1) пок-льэфф-ти максиминной смеш.стр-ииP^О: В частном случае P^О = является максиминной чистой стратегией иг-каA. Аналогично, смеш.стр.Q^О S_B(сущ-ие которой доказано вТ 2), минимизирующая пок-ль неэфф-тиβ(Q), назовем минимаксной смеш. стратегией иг-ка В.Пок-ль неэфф-ти минимаксной смеш.стр-ииQ^Оравен верхней цене игры (см. 2)): Если Q^О= то является минимаксной чистой стратегией.