7. Устойчивые и неустойчивые игровые ситуации. Игровые ситуации, удовлетворительные для игроков. Доказательство критериев об удовлетворительных ситуациях для игроков.

Устойчивая ситуация – ситуация не изменяющаяся после очередного хода иг-ов.

Неустойчивая ситуация – ситуация, изменяющаяся после очередных эффективных ходов иг-ов.

Ситуация называется удовлетворительной (приемлемой, допустимой) для иг-ка A, если и удовлетворительной для иг-ка В, если

Т 1. Ситуация будет удовлетворительной для иг-ка А⇔ его выигрыш совпадает с Пок-ем неэфф-ти стр-ии иг-ка В: , т. е. будет максимальным в j₀-ом столбце мат-цы игры.

Док-во. Пусть ситуация удовлетворительна для иг-ка А. Тогда по опр. справедливо нерав-во . Из этого нерав-ва и определения пок-ля неэфф-тистр-ии следует, что Обратно, пусть справедливо рав-во . Тогда, применяя при j = j₀, получим Т доказана.

АналогичныйК имеет место и для удовлетворительной ситуации иг-ка В.

Т 2. Ситуация является удовлетворительной для иг-ка В⇔ его проигрыш совпадает с Пок-емэфф-ти стр-ии иг-ка А: , т. е. минимален в i₀-й строке мат-цы игры.

Алгоритм нахождения удовлетворительных ситуаций для иг-ка А:В каждом столбце находим наибольший элемент – пок-ль неэфф-тистр-ии иг-ка В; Находим строку в которой стоит элемент ;Ситуация удовлетворительна для иг-ка А

Алгоритм нахождения удовлетворительных ситуаций для иг-ка В: В каждой строке находим наименьший элемент – пок-льэфф-тистр-ии иг-ка А; Находим столбец в котором стоит элемент ; Ситуация удовлетворительна для иг-ка В

Число удовлетворительных для иг-ка А ситуаций будет не меньше n и не больше mn.

Число удовлетворительных для иг-каB ситуаций будет не меньше m и не больше mn.

8. Равновесная ситуация. Седловая точка выигрыш-функции и седловая точка матрицы игры. Доказательство свойств равнозначности и взаимозаменяемости седловых точек матрицы игры.

Седл. точка выигрыш-ф-ии (седл. точка игры, ситуация равновесия, равновесная ситуация) – ситуация удовлетворительная для обоих иг-ов.

Седл. точка мат-цы игры – выигрыш иг-ка А в ситуации равновесия; элемент, являющийся седл. точкой мат-цы игры, — минимальный в своей строке и максимальный в своём столбце.

Т 1 Если и — седл. точки, то

Док-во. Т.к. - седл. точка, то по правому нерав-тву (1) при i₀ = i₁, j₀ = j₁,j = j₂имеем Т.к. - седл. точка, то по левому нерав-тву (1) при i₀ = i₂, j₀ = j₂, i = i₁получим Из нерав-тв (4) и (5) следует нерав-во Применив аналогичные рассуждения сначала к седл. точке а затем к седл. точке получим нерав-во Нерав-ва (6) и (7) доказывают рав-во (3).

Т 2Если и - седл. точки, то и и - также седл. точки.

Док-во. Т.к. и - седл. точки, то по Т 1 справедливо рав-во (3), из которого, используя (2), получим С другой стороны, по определениям пок-ля ффективности и пок-ля неэфф-ти будем иметь: Из рав-ва (8) и нерав-ва (11) следует, что А это означает, что - седл. точка. Тот факт, что - седл. точка, доказывается аналогично. А именно, из (3) с использованием (2) получаем рав-во а из (9) и (10) — нерав-во и потому имеют место рав-ва которые означают, что - седл. точка.

9. Нижняя и верхняя цены игры. Соотношение между ними. Цена игры в чистых стратегиях. Чистые оптимальные стратегии. Полное и частное решения игры в чистых стратегиях. Критерий существования цены игры в чистых стратегиях. Соотношения между множествами оптимальных и максиминных (минимаксных) стратегий. Алгоритм поиска седловых точек.

Стратегии и , создающие равновесн ситуацию – оптимальные. и - множ-ва чист.опт страт. и.А и и.В.

- цена игры в чист.стр. Совокупность и множ-в и чист.опт.стр - полное (общее) решение игры в чист.страт. А какой-л пары чист.опт.стр и цены игры в ч.опт.стр называется частным решением игры в чистых стратегиях.

Теорема(критерий существования цены игры в чистых стр): для существования цены игры в чистых страт. необх и достат существование у матр этой игры седловой тчк.

Доказательство: необходимость. Пусть сущ.цена игры в чистых страт, т.е. нижняя цена игры α совпадает с верхней .

Пусть - максимин.стр и.А, а -минимаксн.стр.и.В. тогда , . Рассмотрим ,стоящий на пересеч -той строки и -столбца. Из предыдущ рав-в, опред показ эфф и неэф: , отсюда в силу рав-ва и , получим: , кот означ, что явл седл тчк. Необходимость доказана.

Достаточноть. Пусть сущ седл тчк. , тогда : . Отсюда по опред нижн и верхн цен игры: , т.е. . Но по теореме ( , , ) и поэтому , существует цена игры в чистых страт.

Т1: Для элементов мат-цы (1) имеют место нерав-ва (8) И следовательно, нижняя цена игры не больше её верхней цены игры в чистых стр-ях. (9).

Док-во: По опр. (2) и (3) получаем: следовательно (8) доказано. Т.к. доказанное нерав-во , справедливо ∀i=1,…,m, j=1,…,n, то оно будет справедливо в частности для номеров i=i₀ и j=j₀ соответственно максиминной и минимаксной стр-ий и : Тогда в силу (6) и (7)получаем (9).

ОПР. Обозначим и — мн-тва чистых оптимальных стр-ийиг-ов A и B соответственно, — цена игры. Тогда совокупность — полное решение игры в чистыхстр-ях, а совокупность какой-нибудь пары чистых оптимальных стр-ий и и цены игры называется частным решением игры в чистых стр-ях.

Т2. Для того чтобы ∃а цена игры в чистыхстр-ях, т. е. для того чтобы нижняя цена игры α равнялась верхней цене игры β,⇔сущ-ие у мат-цы этой игры седл. точки.

Док-во. Необх-ть. Пусть ∃ цена игры в чистых стр-ях, т.е. нижняя цена игры α совпадает с ее верхней ценой β: α = β. (1)Пусть - максиминная стр.иг-каA,a - минимаксная стр.иг-каВ.Тогда Рассмотрим элемент стоящий на пересечении i₀-й строки и j₀- го столбца мат-цы игры. Из (2), определений пок-ляэфф-ти стр-ии и пок-ля неэфф-ти стр-ии будем иметь: откуда, в силу (1) получим рав-во которое означает, что элемент является седл. точкой. Необх-ть доказана. Дост-ть. Пусть ∃седл. точка Тогда Отсюда по опр. нижней и верхней цен игры т. е. α ≥ β. Но поТ: нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стр-ях:α ≤ β и потому α = β, т. е. ∃ цена игры в чистых стр-ях.

Т 3.Справедливы следующие утв.

1. Каждая опт.стр.иг-каА является его максиминной стратегией, а каждая опт.стр.иг-каВ является его минимаксной стратегией.

2. В игре без седл. точек ни одна из максиминных и минимаксных стр-ий не является опт., Т.к. в этой игре вообще нет опт.стр-ий.

3. В игре с седловыми точками каждая максиминная и каждая минимаксная стр-ии соответственно иг-овА и В являются оптимальными.