
- •Вопросы для подготовки к экзамену по теории игр в фк2(4-6)
- •1. Задачи принятия решения.
- •2. Классификация игр.
- •3. Задачи теории игр в экономике, финансах и бизнесе.
- •4. Основные понятия и определения теории антагонистических игр.
- •5. Выигрыш-функция и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Соотношение между матрицами выигрышей игроков а и в в парной антагонистической игре с нулевой суммой выигрышей.
- •7. Устойчивые и неустойчивые игровые ситуации. Игровые ситуации, удовлетворительные для игроков. Доказательство критериев об удовлетворительных ситуациях для игроков.
- •8. Равновесная ситуация. Седловая точка выигрыш-функции и седловая точка матрицы игры. Доказательство свойств равнозначности и взаимозаменяемости седловых точек матрицы игры.
- •10. Смешанные стратегии. Геометрическая интерпретация множества смешанных стратегий.
- •11. Определение выигрыш-функции в смешанных стратегиях; координатные и векторно-матричные формулы ее представления.
- •12. Определение и существование показателя эффективности смешанной стратегии игрока а относительно множеств смешанных и чистых стратегий игрока в.
- •13. Определение и существование показателя неэффективности смешанной стратегии игрока в относительно множеств смешанных и чистых стратегий игрока а.
- •14. Определения нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях и их существование; минимаксные и максиминные смешанные стратегии игроков.
- •15. Теорема о соотношении между нижней и верхней ценами игры в смешанных и чистых стратегиях. Теорема:
- •16. Цена игры в смешанных стратегиях. Оптимальные смешанные стратегии. Полное и частное решения игры в смешанных стратегиях.
- •17. Доказательство основной теоремы теории игр Дж. Фон Неймана.
- •18. Доказательство критерия оптимальных смешанных стратегий в терминах данной цены игры, выигрыш-функции и множеств смешанных стратегий игроков.
- •19. Доказательство критерия оптимальных смешанных стратегий в терминах данной цены игры, выигрыш-функции и множеств чистых стратегий игроков.
- •20. Доказательство следствия о геометрической интерпретации множества оптимальных смешанных стратеги
- •21. Доказательство критерия частного решения игры в смешанных стратегий.
- •22. Доказательство критерия цены игры и оптимальных смешанных стратегий в терминах множеств чистых стратегий игроков.
- •23. Понятие седловой точки функции. Критерий цены игры и оптимальных смешанных стратегий в терминах выигрыш-функции и ее седловых точек.
- •24. Определение и теорема об активных стратегиях. Спектр стратегии.
- •25. Определение и теорема о смесях активных чистых стратегий.
- •26. Принцип доминирования стратегий. Теорема и следствия о доминируемых стратегиях.
- •27. Принцип редуцирования матриц игры, основанный на разбиении ее на подматрицы с определенным свойством.
- •28. Изоморфное преобразования игры.
- •29. Зеркальный изоморфизм игры.
- •30. Аффинное преобразование игры.
- •31. Критерий седловой точки матрицы игры 22, основанный на принципе доминирования.
- •32. Доказательство критерия существования седловой точки в игре 22 в терминах пассивных стратегий.
- •33. Доказательство признака существования седловой точки в игре 22 в терминах сумм элементов главной и побочной диагоналей матрицы игры и его следствие.
- •34. Доказательство теоремы об аналитическом решении игры 22 без седловой точки в смешанных стратегиях и ее следствия для симметрической и двоякосимметрической матрицы игры.
- •35. Геометрический метод нахождения цены игры 22 и оптимальных стратегий игрока а.
- •36. Геометрический метод нахождения цены игры 22 и оптимальных стратегий игрока в.
- •37. Геометрический метод нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока а.
- •38. Теорема об аналитическом методе нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока а.
- •39. Доказательство теоремы об аналитическом методе нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока в и её следствия.
- •40. Геометрический метод нахождения цены игры m2 и оптимальных стратегий игрока в.
- •41. Теорема об аналитическом методе нахождения цены игры m2 и оптимальных стратегий игрока а и её следствия.
- •43. Определение и теорема о симметричной матричной игре.
- •44. Теорема о сведении решения пары взаимно двойственных задач линейного программирования к решению симметричной матричной игры.
- •45. Игры с природой: сущность, основные понятия, экономические примеры.
- •46. Математическая модель игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Матрица рисков.
- •47. Критерий Байеса оптимальности чистых стратегиях относительно выигрышей.
- •48. Критерий Лапласа оптимальности смешанных стратегий относительно выигрышей.
- •49. Критерий Вальда.
- •50. Критерий крайнего оптимизма.
- •51. Критерий крайнего пессимизма Сэвиджа.
- •52. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
38. Теорема об аналитическом методе нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока а.
Если
через макс. точку
N
нижней огибающей отрезков
а1jа2j,
j=1,...,
п,
порождаемых
чистыми стр.миBj,
j=1,...,
п,
иг-каВ,
проходят
два каких-либо отрезка
и
,
j1≠j2,
j1,
j2
{1,
…, n},
то абсцисса точки
N
(1.
2)и,
следовательно,
(1.
2) а цена игры
(1.
2)
39. Доказательство теоремы об аналитическом методе нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока в и её следствия.
Пусть через макс.
точку N
нижней огибающейа1jа2j,
j=1,...,
п,
порождаемых
чистыми стр.миBj,j=1,...,
п,
иг-каВ,
проходят
два каких-либо отрезка
и
,
j1≠j2,
j1,
j2
{1,
…, n}.
Для того чтобы смеш. стр.
иг-ка B,
где
(1.10),
(1.11),
(1.12) была
опт.⇔чтобы
отрезки
и
имели
разные наклоны.
Док-во.
Цена
игры Т.к.
цена игры Vпредставляет
собой ординату точки M,
то
для вычисления Vдостаточно
в правую часть одного из рав-тв
или
подставить
.
Подставляя
в
правую часть рав-ва
,
получим
Необходимость.
Пусть смеш. стр.
иг-ка В,
в
которой вероятности
,
j=1,...,
n,
определяются
ф-лами (1.10), (1.11) и (1.12), является опт..
Нам надо доказать, что отрезки и имеютразные наклоны. Предположим противное: эти отрезки имеют одинаковые наклоны.
Так
как уравнениями отрезков
и
являются
соответственно уравнения (1.8) и (1.9), то
угловые коэффициенты этих отрезков
соответственно равны
(1.13),
(1.14)
Т.к. (по предположению)
отрезки
и
имеют
одинаковые наклоны, то
и
либо
оба положительны, либо оба отрицательны,
либо оба равны нулю.
+следствие
40. Геометрический метод нахождения цены игры m2 и оптимальных стратегий игрока в.
Берем горизонтальный отрезок [0,1].
Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.
На левом перпендикуляре, лежащем на вертикальной числовой оси, от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы первой строки мат-цыА.
На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второй строки мат-цыА.
Каждую пару точек, изображающих элементы аi1 и аi2, стоящие в i-й строке мат-цыА, соединяем отрезком аi1аi2. Т.о., будут построены m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций
q [0,1], i=1,..., m. (2. 2)
Если все отрезки аi1аi2, i=1,..., m, — неубывающие (имеют неотрицательный наклон), то стр.B1доминирует стр-июB2.Если все отрезки аi1аi2, i=1,..., m, — возрастающие (имеют положительный наклон), то стр.B1строго до минирует стр-июB2.
Если все отрезки аi1аi2, i=1,..., m, — невозрастающие (имеют неположительный наклон), то стр.B2 до минирует стр-июB1.Если все отрезки аi1аi2, i=1,..., m, — убывающие (имеют отрицательный наклон), то стр.B1 строго до минирует стр-июB2.
Если отрезок
лежит не ниже отрезка
, i1≠i2, i1, i2 {1, …, m},то стр.
доминирует стр-ию
.Если отрезок лежит выше отрезка , i1≠i2, i1, i2 {1, …, m}, то стр. строго доминирует стр-ию .Находим (выделяем) верхнюю огибающую (2.1) семейства отрезков (2.4), которая в общем случае будет представлять собой выпуклую вниз ломаную, а, в частности, может быть и отрезком.
Наверхней огибающей находим минимальную (низшую) точку (или точки).
Абсцисса q0 этой точки (удовлетворяющая рав-тву (2.2)) является вероятностью выбора игроком B чистой стр-ииB2 в опт.смеш.стр-ииQ0=(1-q0, q0).
Ордината низшей точки верхней огибающей является ценой игры V(см.(2.3)).
Верхний из нижних концов отрезков аi1аi2,
есть нижняя цена игры в чистых стр-ях α.
Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах), есть верхняя цена игры в чистых стр-ях β.
Элемент мат-цыА, представленный на рисунке точкой являющейся нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхним на перпендикуляре, которому она принадлежит, является седл. точкой игры. В этом случае чистаястр.иг-каА, номер которой совпадает с первым индексом седл. точки, является опт..