36. Геометрический метод нахождения цены игры 22 и оптимальных стратегий игрока в.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.

3. На левом перпендикуляре, лежащем на вертикальной числовой оси, от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем элементы а₁₁ и а₂₁первого столбца мат-цы А.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы а₁₂ и а₂₂второго столбца мат-цы А.

Замечание к пунктам 1, 3, 4. Масштабы на правом и левом перпендикулярах одинаковые, но не обязательно совпадают с масштабом горизонтального отрезка [0,1].

5. Соединяем а₁₁ с а₁₂, а₂₁ с а₂₂.

6. Если отрезки а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂ — неубывающие (имеют неотрицательный наклон), то стр.B₁доминирует стр-июB₂. Если отрезки а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂ — возрастающие (имеют положительный наклон), то стр.B₁строго доминирует стр-июB₂.

7. Если отрезки а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂ — невозрастающие (имеют неположительный наклон), то стр.B₂до минирует стр-июB₁. Если отрезки а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂ — убывающие (имеют отрицательный наклон), то стр.B₁ строго доминирует стр-июB₂.

8. Если отрезок лежит не ниже отрезка , то стр. доминирует стр-ию . Если отрезок — выше отрезка , то стр. строго доминирует стр-ию .

9. Находим (выделяем) верхнюю огибающую отрезков а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂.

10. Наверхней огибающей находим минимальную точку.

11. Абсцисса q⁰ этой точки является вероятностью выбора игроком B чистой стр-ииB₂ в опт.смеш.стр-ииQ⁰=(1-q⁰, q⁰).

12. Ордината низшей точки верхней огибающей является ценой игры V.

13. Верхний из нижних концов отрезков а₁₁а₁₂, а₂₁а₂₂ есть нижняя цена игры в чистых стр-ях α.

14. Нижний из концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах), есть верхн. цена игры в чистых стр-ях β.

15. Элемент мат-цыА, представленный точкой, являющейся нижним концом отрезка, на котором она лежит, и верхним на перпендикуляре, которому она принадлежит, является седл. точкой игры. В этом случае чистая стр.иг-каА, номер которой совпадает с первым индексом седл. точки, является опт.

37. Геометрический метод нахождения цены игры 2 и оптимальных стратегий игрока а.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. Через концы отрезка [0,1] проводим к нему два перпендикуляра: левый и правый.

3. На левом перпендикуляре, лежащем на вертикальной числовой оси, от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы первой строки мат-цыА.

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все элементы второй строки мат-цыА.

Масштабы на левом и правом перпендикулярах должны быть одинаковыми, не обязательно совпадающими с масштабом горизонтального отрезка [0,1].

5. Каждую пару точек, изображающих элементы а_1j и а_2j, стоящие в j-м столбце мат-цыА, соединяем отрезком а_1jа_2j. Т.о., будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций p [0,1], j=1,..., п. (1. 2)

6. Если все отрезки а_1jа_2j, j=1,..., п, — неубывающие (имеют неотрицательный наклон), то стр.А₂доминирует стр-июА₁.

Если все отрезки а_1jа_2j,j=1,..., п, возрастающие (имеют положительный наклон): а_1jа_2j, j=1,..., п, то стр.А₂строго до минирует стр-июA₁.

7. Если все отрезки а_1jа_2j, j=1,..., п, невозрастающие (имеют неположительный наклон), то стр.А₂ до минирует стр-июA₁.

Если все отрезки а_1jа_2j,j=1,..., п, убывающие (имеют отрицательный наклон), то стр.A₁ строго до минирует стр-июА₂.

8. Если отрезок лежит не ниже отрезка , j₁≠j₂, j₁, j₂ {1, …, n},то стр. доминирует стр-ию .Если отрезок лежит выше отрезка , j₁≠j₂, j₁, j₂ {1, …, n}, то стр. строго доминирует стр-ию .

9. Находим (выделяем) нижнюю огибающую (1) семейства отрезков (4), которая в общем случае будет представлять собой выпуклую вверх ломаную, а, в частности, может быть и отрезком.

10. Нанижней огибающей находим макс. (наивысшую) точку (или точки).

11. Абсцисса p⁰ этой точки (удовлетворяющая рав-тву (2)) является вероятностью выбора игроком А чистой стр-ииА₂ в опт.смеш.стр-ииP⁰=(1-p⁰, p⁰).

12. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры V(см.(3)).

13. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стр-ях α.

14. Нижний из верхних концов отрезков а_1jа_2j, j=1,..., п, есть верхняя цена игры в чистых стр-ях β.

15. Элемент мат-цыА, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седл. точкой игры.В этом случае чистая стр.иг-каВ, номер которой совпадает со вторым индексом седл. точки, является опт.