26. Принцип доминирования стратегий. Теорема и следствия о доминируемых стратегиях.

Пусть имеем игру с матрицей . Обычная мат-цаА

Каждой смеш.стр-ии иг-ка А поставим в соответствие строку (1)

(размера ), элементами которой являются выигрыши иг-ка А в ситуациях В силу формулы строку (1) можно представить так:

откуда видно, что она является выпуклой комбинацией строк мат-цы А

Обратно, каждой выпуклой комбинации (2) строк мат-цы А с коэффициентами поставим в соответствие смешанную стр-ию иг-ка А.

Т.о., между смешанными (в том числе и чистыми) стр.ми иг-ка А и выпуклыми комбинациями , , строк мат-цы устанавливается взаимно-однозначное соответствие .(3)Из (1) и (3) ясно, что каждой чистой стр-ииA_kk=1,2,…mиг-ка А ставится во взаимно-однозначное соответствие k-я строка мат-цыА. Если для двух выпуклых комбинаций строк мат-цы А (4) И , (5)

выполняются нерав-ва ,(6) то говорят, что строка (5) доминирует строку (4), а строка (4) доминируется строкой (5). Т.о., строка (5) – доминирующая строку (4), а строка (4) – доминируемая строкой (5).Если каждое из нерав-тв (6) являются рав-вами, то строки (4) и (5) называются дублирующими друг друга.Если каждое из нерав-тв (6) является строгим, то говорят, что строка (5) строго доминирует строку (4), а строка (4) строго доминируется строкой (5).

Теорема. Справедливы следующие предложения.

1. Если k-я строка, , матрицы А игры домини­руется некоторой выпуклой комбинацией остальных ее строк, то существует оптимальная смешанная стратегия игрока А, в которой k-я чистая стратегия А_к выбирается им с нулевой вероятностью, т. е.

2. Если k-я строка, , матрицы А игры строго до­минируется некоторой выпуклой комбинацией остальных ее строк, то в любой оптимальной смешанной стратегии игрока А чистая k-я стратегия А_к выбирается им с нулевой вероятностью, т. е.

3. Если l-й столбец, , матрицы А игры доминируется некоторой выпуклой комбинацией остальных ее столбцов, то существует оптимальная смешанная стратегия игрока В, в которой l-я чистая стратегия выбирается им с нулевой вероятностью, т. е.

4. Если l-й столбец, , матрицы А игры строго доминируется некоторой выпуклой комбинацией остальных ее столбцов, то в любой оптимальной смешанной стратегии ) игрока В чистая l-я стратегия выбирается им с нулевой вероятностью, т. е.

Из вышедоказанных утверждений следует, что если строка (столбец) доминируется нестрого, тогда ее (его) можно удалить; но если доминируется строго, тогда ее (его) нужно удалить

Следствие 1

1. Если k-я строка матрицы игры доминируется (строго доминируется) некоторой другой строкой, то существует (любая) оптимальная смешанная стратегия игрока А, в которую чистая стратегия Аk входит с нулевой вероятностью

2. Если l-й столбец матрицы игры доминируется (строго доминируется) некоторым другим столбцом, то существует (любая) оптимальная смешанная стратегия игрока B, в которую чистая стратегия Bl входит с нулевой вероятностью.

Следствие 2 (о дублирующих чистых стратегиях). Одну из двух дублирующих чистых стратегий можно удалить