27. Модель Пуанкаре геометрії Лобачевського на евклідовій півплощині. Модель Пуанкаре

Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского осуществляется на евклидовой плоскости средствами евклидовой геометрии. Проводим прямую Ох на обыкновенной плоскости (рис. 27). Категории основных объектов:

«Точки» — обыкновенные точки в верхней полуплоскости; точки самой прямой Ох и точки в нижней полуплоскости в модели не рассматриваются;

«Прямые» — полуокружности с центрами на прямой Ох и обыкновенные полупрямые, перпендикулярные основной прямой Ох;

«Плоскость» — верхняя полуплоскость. «Принадлежать» и «лежат между» понимаем в обычном смысле

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с верш инами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии

Рисунок 1 плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Модели Пуанкаре в круге и в шаре

Модель Пуанкаре в круге

В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a, b, b^/), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является: , где и — оси абcцисс и ординат, соответственно.[3]

Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

(Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.)

(Модель Пуанкаре в круге)

(Модель Пуанкаре в единичном круге. с евклидовыми модулями)

Конформно-евклидова модель Пуанкаре (иногда называется диск Пуанкаре) — модель пространства Лобачевского, наряду с моделью Клейна и моделью псевдосферы. Предложена Анри Пуанкаре в 1882 году[1] в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть модель Пуанкаре конформна)[2] в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.