11.Система аксіом Вейля. Огляд структури та приклади аксіом

Трехмерное евклидово пространство   определяется как множество, состоящее из элементов двух родов - "точек" и "векторов", удовлетворяющих следующим 4 группам аксиом:

I группа - аксиомы, определяющие соотношения между точками и векторами. I _Х. Существует по меньшей мере одна точка. I₂. Каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один и только один вектор. I₃- Для каждой точки Аи каждого вектора асуществует одна и только одна точка Втакая, что 

 (  есть вектор я). I₄. Если  , то  = .

На основе этой группы аксиом определяется сумма векторов, к-рая удовлетворяет требованиям коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор, противоположный вектор. Векторы по сложению образуют группу.

II группа - аксиомы, описывающие операцию умножения вектора на число. II₁. Каждому вектору а и каждому   поставлен в соответствие определенный вектор ka(ka наз. произведением вектора а, на число k).II₂. Умножение вектора на 1. не изменяет вектора. II₃. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел (k₁+k₂)a= k₁a+k₂a.II₄. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов k(a₁+a₂)=ka₁+ka₂ II₅. Умножение вектора на число ассоциативно 

k₁(k₂a)=(k₁k₂)a

С помощью операций сложения и умножения на число определяется линейная комбинация векторов, их линейная зависимость.

III группа определяет размерность пространства. III_i. Существуют три линейно независимых вектора, но всякие четыре - линейно зависимы.

Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее вместе со второй группой аксиом следует, что R³ является топологич. пространством размерности 3. Первые три группы аксиом определяют трехмерное аффинное пространство.

IV группа определяет метрич. свойства. IV₁. Любым двум векторам а и b поставлено в соответствие определенное число (скалярное произведение) (a, b)=l,  . IV₂. Симметричность скалярного произведения: (a, b) =(b, a). IV₃. Дистрибутивность скалярного произведения ( а, b+c)=(a, b)+( а, с). IV₄. Для   имеет место (a, kb)=k(a, b).IV₅. Скалярный квадрат вектора неотрицателен  , причем ( а, a)=0 только для нуль-вектора.

На основе IV группы аксиом определяется расстояние между точками, угол между векторами и т. д.; с помощью векторов - "отрезки", "прямые", "плоскости" и т. д.

Схема Вейля допускает обобщение на случай любой размерности, с помощью соответствующего изменения аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллиптич. пространства и т. д.

Система аксиом Вейля евклидовой геометрии является непротиворечивой, независимой и удовлетворяет требованию полноты (категоричности, или минимальности). Непротиворечивость устанавливается с помощью числовой модели: упорядоченным тройкам чисел (x¹, x², x³),  ; i=1, 2, 3, ставятся во взаимно однозначное соответствие "точки" пространства  . Вектор с началом в   и концом в   определяется тройкой а=( а ¹, а ², а ³),  ; i=1, 2, 3. Сумма векторов (a¹, a², a³) и (b¹, b², b³).определяется тройкой (a¹+b¹, a²+b², a³+b³), произведение вектора (а ¹, а ², а ³) на число  есть тройка (ka¹, ka², ka³). Скалярное произведение векторов (а ¹, а ², а ³) и (b¹, b², b³).выражается числом  . Базисные векторы (тройка линейно независимых векторов) можно изображать тройками e¹⁼(1,0,0), e²=(0,1,0), е ³⁼(0,0,1). Для доказательства независимости аксиом друг от друга и независимости групп аксиом строится интерпретация системы, получающейся из данной путем замены какой-либо ее аксиомы ее отрицанием. Полнота системы выводится из полноты множества действительных чисел.

13.Эквивалентность аксиом Вейля и Гильберта

Как мы знаем, если в рамках аксиоматики Гильберта назвать вектором направленный отрезок, а сумму векторов, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определить так, как это было сделано выше, то все аксиомы Вейля окажутся теоремами - мы их доказали. Оказывается, что верно и обратное: если, исходя из аксиом Вейля, определить прямые, плоскости и другие основные понятия системы аксиом Гильберта, то все аксиомы Гильберта станут теоремами - их можно будет доказать. Таким образом, системы аксиом Гильберта и Вейля эквивалентны.