1. Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

Математична структура - назва, що об'єднує поняття, спільною рисою яких є їх придатність до множинам, природа яких не визначена. Для визначення самої структури задають відносини, в яких знаходяться елементи цих множин. Потім постулюють, що дані відносини задовольняють певним умовам, що є аксіомами розглянутої структури. Побудувати аксіоматичну теорію даної структури - це означає вивести логічні наслідки з аксіом структури, відмовившись від будь-яких інших припущень щодо самих аналізованих елементів, і, зокрема, від всяких гіпотез щодо їх "природи".

Аксіоматичний метод — спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, що їх називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом. Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічнозавершиних наукових теорій. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.

Формальная теорія (Формальная теорія, аксиоматическая теория) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других^.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в котором представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы». Этим ФС были предъявлены определенные требования.

Модель системы аксиом — какой-либо математический объект, который отвечает данной системе аксиом. Истинность системы аксиом можно доказать, только построив модель в рамках другой системы аксиом, которая считается «истинной». Кроме того, модель позволяет наглядно продемонстрировать некоторые особенности данной аксиоматической теории.

Примеры

[править]Модель формальной логики в рамках булевой алгебры

• «Переменные» — булевы переменные из множества {0,1}.

• Знаки   и   — соответствующие операции булевой алгебры.

Подстановкой всех возможных A, B, C в аксиомы убеждаемся, что в этой модели выполняются все аксиомы. Точно так же проверяется истинность modus ponens.

[править]Модель планиметрии в рамках арифметики

«Точка» — пара действительных чисел  .

«Прямая» — все точки, для которых  , где   и   одновременно не равны 0.

«Плоскость» — все возможные пары действительных чисел  .

[править]Модель геометрии Лобачевского в рамках планиметрии

Наиболее интересной моделью геометрии Лобачевского является модель Пуанкаре. «Пространство» — это внутренность круга, «точкой» считается точка, а «прямой» — прямая или дуга, перпендикулярная окружности. Углы считаются как в геометрии Евклида.

Физический смысл модели таков. Пусть скорость света в круглом «мире» изменяется от c в центре до нуля на краях (а значит, показатель преломления будет 1 в центре и   на краях). Тогда свет будет двигаться по дугам, перпендикулярным границе, но не дойдёт до границы за конечное время. Обитателям этот «мир» будет казаться бесконечным, а геометрию Лобачевского они примут на веру.