Свойства неопределённых интегралов.

1) d(f(x))=f(x)+C

2) df(x)dx=f(x)dx

3) kf(x)dx=kf(x)dx, где k - постоянная величина.

4) (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx

5) udv=uv-vdu (интегрирование по частям)

6) f(x)dx=F(x)+C  f((t))(t)dt=F((t))+C (замена переменной

интегрирования)

7) f(x)dx=F(x)+C  f(ax+b)dx= F(ax+b)+C

28.

Если существует предел этой суммы, когда длины всех частей стремятся к нулю, то он называется определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается .

Свойства определённого интеграла.

1) , где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)

2)

3)

4) (интегрирование по частям)

5) , где a=() и b=() (замена переменной)

6)

7) если a<b и f(x)0, то  если a<b и f(x)g(x), то

8) если f(x) непрерывна на [a;b], то , где с(a;b) (теорема о среднем)

29.

, где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)

30-33.

Приложения определённого интеграла:

Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x)0, y=0	, или кратко
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=ba, y=f(x), y=g(x)f(x)
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной линиями: =, =, r=r()0
Длина плоской линии, заданной параметрически:
Длина плоской линии, заданной уравнением: y=f(x), axb
Длина плоской линии в полярной системе координат: r=r(), 
Объём тела, полученного вращением фигуры 0yf(x), axb вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy
Площадь поверхности, образованное вращением линии y=f(x), axb вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy

34 способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S1 и S2 (S = S1 + S2). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C1(x1, y1) и C2(x2, y2). Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

35.

Рассмотрим множество A пар действительных чисел (x,y). Говорят, что на множестве A задана функция (двух аргументов) f, если задано соответствие по которому каждому элементу множества A (область определения) соответствует единственный элемент числового множества B (множество значений). Функции двух аргументов могут быть заданы формулами, таблицами или графически.

36.

Частной производной функции z = f(x,y) по x называется обычная производная при условии, что y - постоянная и аналогично - частная производная по y. Они обозначаются так:

или: или: z_x и z_y или: f_x(x,y) и f_y(x,y)

Полным дифференциалом называется выражение: dz = z_xdx + z_ydy

37.