1. Определители и их свойства

Свойства определителей

Для квадратной матрицы можно вычислить число, которое

называется определителем. Определитель второго порядка вычисляется по

схеме крест, а определитель третьего порядка - по схеме треугольников.

1. При транспонировании (замене строк определителя на соответствующие столбцы) определитель не изменится.

2. Разложение определителя по любой строке или любому столбцу: определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

3. При перестановке двух строк или столбцов абсолютная величина определителя не изменится, а знак определителя меняется на обратный.

4. Общий множитель строки или столбца можно вынести за знак определителя.

5. Свойство линейного преобразования в определителе . Определитель не изменится, если к какой- либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) предварительно умноженную на какое- либо число.

6. Если элементы одной строки равны элементам другой строки определителя, то определитель равен нулю .

2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Находим определитель уравнения (d) , потом находим определитель dx b dy и делим эти определители на d (dx/d dy/d).

3. Линейные операции с векторами на плоскости и в пространстве.

Векторы и линейные операции над ними.

Вектором называется направленный отрезок.

→

. Два вектора равны, если их длины

равны и они однонаправлены. Три вектора a b и c в пространстве

называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Координаты вектора равны разности координат конца и начала. Сумма и

разность векторов определяются по правилу треугольника:

Произведением вектора a на число λ называется вектор, длина которого

равна |λ||a|, он однонаправлен с исходным если λ>0 и противоположно

направлен если λ<0. Из определения суммы следуют правило

параллелограмма для суммы двух векторов и правило многоугольника для

суммы нескольких векторов:

Если даны координаты векторов, то координаты суммы равны сумме

координат, координаты разности равны разности координат, а координаты

произведения вектора на число равны произведению координат на это

число. Нахождение площади треугольника: находим определитель и делим его пополам. Нахождение угла м/у векторами: находим произведение векторов, потом квадратный корень из каждого вектора и делим произведение на квадратный корень.

4. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число равное

произведению их длин на косинус угла между ними: a×b=abcos(a^b). Если

известны координаты векторов, то в прямоугольной декартовой системе

координат на плоскости a×b=xaxb+yayb, в пространстве a×b=xaxb+yayb+zazb.

Свойства скалярного произведения:

1) a×b = b×a 2) a×(b+c) = a×b + a×c 3) Если a⊥b, то a×b=0

5. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением двух векторов a и b в пространстве

называется вектор с длина которого равна произведению их длин на синус

угла между ними: с=absin(a^b), он перпендикулярен векторам a и b и

векторы a b и с образуют правую тройку. Этот вектор обозначается так:

c=a×b Если известны координаты векторов, то в прямоугольной правой

декартовой системе координат:

i j k

a×b= xa ya za

xb yb zb

Свойства векторного произведения:

1) a×b = -b×a 2) a×(b+c) = a×b + a×c 3) Если a÷b, то a×b=0

4) Для орт i, j, k справедливы соотношения i×j = k, j×k = i, k×i = j