Свойство треугольника:

Свойство№1

При составлении арифметического треугольника каждое число n-й строки участвует в образовании двух чисел (n + 1)-й строки — стоящего слева и стоящего справа от него. Поэтому если сложить числа (n + 1)-й строки через одно, то в полученную сумму войдут по одному разу все числа n-й строки. Складывать числа через одно можно двумя способами — начав с первого числа строки или начав со второго числа. В обоих случаях получится одна и та же сумма, равная сумме чисел в n-й строке. Следовательно

Свойство№2 (следствие из свойства№1)

Из свойства№1следует , что сумма чисел (n + 1)-й строки вдвое больше суммы чисел n-й строки. Иными словами, при переходе к следующей строке арифметического треугольника сумма чисел в строке удваивается. Но в первой строке стоит только одно число 1, а потому для нее сумма равна 1. Поэтому в (n + 1)-й строке сумма чисел равна . следовательно:

Размещения без повторений Размещения без повторений из n элементов по m – это упорядоченные m-множества, состоящие из n- множества Общий вид задач: Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить расстановок? При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Такие расстановки называют размещениями без повторений. При составлении k-размещений без повторений из n предметов нужно сделать k выборов. На первом шагу можно выбрать любой из имеющихся n предметов. Если этот выбор уже сделан, то на втором шагу приходится выбирать из оставшихся n-1 предметов - ведь повторный выбор сделать уже нельзя. Точно так же на третьем шагу для выбора остается лишь (n-2) свободных предметов, на четвертом - n-3 предметов... на k-ом шагу (n-k+1) предметов. Поэтому по правилу произведения получаем, что число k-размещений без повторения из n предметов выражается следующим образом:

Пример. Нужно выбрать президента общества, вице - президента, ученого - секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан это выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост? В этом случае нужно найти число размещений( без повторений) из 23 элементов по 4. Ведь здесь играет роль, кто будет выбран в руководство общества и то, какие посты займут выбранные (выбор: президент – Иванов, вице-президент - Татаринов, ученый секретарь - Тимошенко, казначей – Алексеев, отличается от выбора: президент – Тимошенко, вице-президент – Иванов, ученый- секретарь – Татаринов, казначей - Алексеев). Поэтому ответ дается формулой Перестановки без повторений Перестановкой из   элементов (или  -перестановкой) называется размещение из  элементов по   без повторений. Число перестановок из   элементов без повторений обозначается   от французского слова perturbation. Теорема: число способов расположить в ряд   различных объектов есть

Пример. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются? Решение: Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P₆=6!=720 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P₅=5!=120. P₆-P₅=720-120=600 Сочетания без повторений Сочетанием без повторений из   элементов по  называется неупорядоченное  -элементное подмножество  -элементного множества. Число сочетаний без повторений из   элементов по    равно  :

Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства в  группе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются, то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений:

.

Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.

Размещения и сочетания с повторениями Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний . Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно .

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных.

Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь - .

Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть вариантов.