Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

«Московский государственный областной университет»

Комбинаторика. Размещения, перестановки, сочетания

Работу подготовила студентка 2 курса лингвистического факультета группы 25Нит-ф Фомичева Мария

Содержание

1.Из истории комбинаторики. 2.Размещения. 3.Перестановки. 4.Сочетания. 5. Треугольник Паскаля. 7. Размещения без повторений. 8.Перестановки без повторений. 9.Сочетания без повторений. 10. Размещения и сочетания с повторениями. 11.Перестановки с повторениями. 12. Задачи для самостоятельного решения. 13. Список литературы.

Из истории комбинаторики Комбинаторика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике) . Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом. В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement) Размещения В комбинаторике размещением называется расположение "предметов" на некоторых "местах" при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества. Количество размещений из n по k обозначается Например, — это 4-элементное размещение 6-элементного множества {1,2,3,4,5,6}. В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть совпадают как сочетания).

Множества , . . . из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством X, со - держащим n элементов. Кортежи длины k, составленные из элементов n - множества X, называют размещениями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают

Формула:

Доказательство: Из правила произведения сразу вытекает, что число размещений с повторениями из n элементов по k равно произведению k сомножителей, каждый из которых равен n. А все вместе .

Теперь рассмотрим размещение без повторений: при k . n, k – натуральные числа

Доказательство: Если то в правой часте будет k множителей, если k = 1, то . Введем Метод математической индукции по k.

1. При k = 1 равенство выполняется, так как

2. Предположим что и для k = j это равенство справедливо, то

3. Теперь нужно доказать что для k = j +1 равенство тоже справедливо

По нашему предположению, выбрать группу изn элементов по j можно

способами

Присоединить к каждой выбранной группе из j элементов ещё один элемент из основания ( n - j ) способами то есть

Поэтому для любого справедливо это равенство ( по принципу математической индукции). Доказано.

Выедем другую формулу: (при тех же условиях)

Доказательство: умножив числитель и знаменатель на (п — к)…1. В числителе получится произведение всех чисел от 1 до n. Что является n!, а в знаменателе станет (n –k)!.