Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ

A x =b (1)

Предполагая, что a_ii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе – относительно x₂,…, n-ое уравнение – относительно x_n. В результате получим:

x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ - ... - α_1nx_n

x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ - ... - α_2nx_n

x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ - ... - α_nn-1x_n-1

где β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0

Известно начальное приближение: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x₁, x₂, ..., x_n.

Итерационная схема имеет вид:

x^k+1₁=β₁ - ∑α_1jx^k_j

x^k+1₂=β₂ - α₂₁x^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x^k+1_i=β_i - ∑α_ijx^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на A^T: A^TAx=A^Tb или Cx=d, (2).

где C=A^TA; d=A^Tb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С – симметрическая;

2) все элементы главной диагонали c_ij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:

x₁=0.93+0.6x₂+0.74x₃+0.69x₄

x₂=0.73+0.45x₁+0.51x₃-0.0727x₄

x₃=0.53+0.66x₁+0.6x₂+0.36x₄

x₄=-0.18+0.74x₁-0.1x₂+0.44x₃

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x₁=0.93 - 0 • 0.6 - 0 • 0.74 - 0 • 0.69=0.93

x₂=0.73 - 0.93 • 0.45 - 0 • 0.51 - 0 • (-0.0727)=0.31

x₃=0.53 - 0.93 • 0.66 - 0.31 • 0.6 - 0 • 0.36=-0.26

x₄=-0.18 - 0.93 • 0.74 - 0.31 • (-0.1) - (-0.26) • 0.44=-0.72

N=2

x₁=0.93 - 0.31 • 0.6 - (-0.26) • 0.74 - (-0.72) • 0.69=1.44

x₂=0.73 - 1.44 • 0.45 - (-0.26) • 0.51 - (-0.72) • (-0.0727)=0.15

x₃=0.53 - 1.44 • 0.66 - 0.15 • 0.6 - (-0.72) • 0.36=-0.25

x₄=-0.18 - 1.44 • 0.74 - 0.15 • (-0.1) - (-0.25) • 0.44=-1.13

N=3

x₁=0.93 - 0.15 • 0.6 - (-0.25) • 0.74 - (-1.13) • 0.69=1.8

x₂=0.73 - 1.8 • 0.45 - (-0.25) • 0.51 - (-1.13) • (-0.0727)=-0.046

x₃=0.53 - 1.8 • 0.66 - (-0.046) • 0.6 - (-1.13) • 0.36=-0.22

x₄=-0.18 - 1.8 • 0.74 - (-0.046) • (-0.1) - (-0.22) • 0.44=-1.43

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	x3	x4	e1	e2	e3	e4
0	0	0	0	0
1	0.93	0.31	-0.26	-0.72	0.93	0.31	0.26	0.72
2	1.44	0.15	-0.25	-1.13	0.51	-0.15	-0.0147	0.4
3	1.8	-0.046	-0.22	-1.43	0.36	-0.11	-0.0285	0.3
4	2.1	-0.22	-0.21	-1.67	0.3	0.17	-0.0115	0.25
5	2.37	-0.37	-0.21	-1.89	0.27	0.15	-0.000441	0.21
6	2.6	-0.49	-0.21	-2.07	0.23	0.12	0.00419	0.18
7	2.81	-0.59	-0.22	-2.23	0.2	0.1	0.00551	0.16
8	2.98	-0.68	-0.22	-2.37	0.18	0.0887	0.00548	0.14
9	3.13	-0.76	-0.23	-2.49	0.15	0.0762	0.00499	0.12
10	3.26	-0.82	-0.23	-2.59	0.13	0.0655	0.00439	0.1
11	3.38	-0.88	-0.24	-2.68	0.11	0.0564	0.00382	0.0879
12	3.47	-0.93	-0.24	-2.75	0.0971	0.0486	0.0033	0.0758
13	3.56	-0.97	-0.24	-2.82	0.0837	0.0419	0.00285	0.0653
14	3.63	-1	-0.24	-2.88	0.0721	0.0361	0.00245	0.0562
15	3.69	-1.04	-0.25	-2.92	0.0621	0.0311	0.00211	0.0485
16	3.75	-1.06	-0.25	-2.97	0.0535	0.0268	0.00182	0.0417
17	3.79	-1.09	-0.25	-3	0.0461	0.0231	0.00157	0.036
18	3.83	-1.11	-0.25	-3.03	0.0397	0.0199	0.00135	0.031

Задание 2

Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.