Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

Факультет электроники и вычислительной техники

Контрольная работа по дисциплине «вычислительная математика»

Выполнил: студент Роспономарев М.Г.

группы АУЗ – 263с

Шифр 20101664

Проверил: Бочкин А.М.

Волгоград 2012

Содержание

Задание 2 8

Задание 3 15

Задание 4 18

Задание 1

а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ

Ax =b (1)

Предполагая, что a_ii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x₁, второе – относительно x₂,…, n-ое уравнение – относительно x_n. В результате получим:

x₁=β₁ - α₁₂x₂ - α₁₃x₃ - ... - α_1nx_n

x₂=β₂ - α₂₁x₁ - α₂₃x₃ - ... - α_2nx_n

x_n=β_n - α_n1x_n - α_n3x₃ - ... - α_nn-1x_n-1

где β_i=b_i/a_ii; α_ij=a_ij/a_ii при i ≠ j; α_ii=0

Известно начальное приближение: x⁰=(x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x₁, x₂, ..., x_n.

Итерационная схема имеет вид:

x^k+1₁=β₁ - ∑α_1jx^k_j

x^k+1₂=β₂ - α₂₁x^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

x^k+1_i=β_i - ∑α_ijx^k+1₁ - ∑α_2jx^k_j

Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на A^T: A^TAx=A^Tb или Cx=d, (2).

где C=A^TA; d=A^Tb.

Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

1) матрица С – симметрическая;

2) все элементы главной диагонали c_ij > 0;

3) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы A^TA.

Умножаем матрицы A^Tb.

Приведем к виду:

x₁=0.25-0.45x₂

x₂=-0.0769-1.38x₁

Рис. 1. графики уравнений СЛАУ

Покажем вычисления на примере нескольких итераций.

N=1

x₁=0.25 - 0 • (-0.45) - 0 • 0=0.25

x₂=-0.0769 - 0.25 • (-1.38) - 0 • 0=0.27

x₃=0 - 0.25 • 0 - 0.27 • 0=0

N=2

x₁=0.25 - 0.27 • (-0.45) - 0 • 0=0.37

x₂=-0.0769 - 0.37 • (-1.38) - 0 • 0=0.44

x₃=0 - 0.37 • 0 - 0.44 • 0=0

N=3

x₁=0.25 - 0.44 • (-0.45) - 0 • 0=0.45

x₂=-0.0769 - 0.45 • (-1.38) - 0 • 0=0.54

x₃=0 - 0.45 • 0 - 0.54 • 0=0

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	x1	x2	e1	e2
0	0	0
1	0.25	0.27	0.25	0.27
2	0.37	0.44	0.12	0.17
3	0.45	0.54	0.0755	0.1
4	0.49	0.61	0.047	0.0651
5	0.52	0.65	0.0293	0.0406
6	0.54	0.67	0.0183	0.0253
7	0.55	0.69	0.0114	0.0158
8	0.56	0.7	0.00709	0.00982
9	0.56	0.7	0.00442	0.00612
10	0.57	0.71	0.00275	0.00381
11	0.57	0.71	0.00171	0.00237
12	0.57	0.71	0.00107	0.00148
13	0.57	0.71	0.000666	0.000922

б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.