1.7.2 Гармонический осциллятор

Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного рас­тянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равнове­сия (фиг. 21.1).

Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке.

Простой пример гармонического ос­циллятора.

Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсо­лютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна -kx (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умно­женное на массу ускорение должно быть равно -kx

m(d²x/dt²)=-kx. (21.2)

Для простоты предположим, что вышло так (или мы нужным образом изменили систему единиц), что k/m = 1. Нам предстоит решить уравнение

d²x/dt²=-x. (21.3)

После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором k и m содержатся явно.

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начи­нали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегри­рованием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая пока­зывает, что если частица m в начальный момент выведена из рав­новесия, но покоится, то она возвращается к положению рав­новесия. Мы не следили за частицей после того, как она достиг­ла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остано­вится, а будет колебаться (осциллировать). При численном ин­тегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t=1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза боль­ше: t₀=6,28 «сек». Все это мы нашли численным интегрирова­нием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее про­дифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)

Эта функция есть: x=cost. Продифференцируем ее: dx/dt=-sint, a d²x/dt² =-wt=-x. В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те пред­положения, которые мы делали при численном интегрирова­нии. Теперь, зная, что x=cost, найдем точное значение вре­мени, при котором z=0. Ответ: t=p/2,или 1,57108. Мы ошиб­лись раньше в последнем знаке, потому что численное интег­рирование было приближенным, но ошибка очень мала!

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет реше­нием в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и т, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x=Acost, тогда dx/dt=-Asint и d²t/dt²=-Acost=-x. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умно­жить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ус­корение, в два раза больше прежней будет приобретенная ско­рость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее рас­стояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равно­весия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравне­нием, то независимо от «силы» оно будет развиваться во вре­мени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравне­ния. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

x=cosw₀t. (21.4)

(Здесь w₀ — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозна­чать особой буквой.) Мы снабдили здесь w индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что w₀ соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx/dt=-(w₀sinw₀t и d²x/dt²=-w²₀wsw₀t=-w²₀x. На­конец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), еслиw²₀=k/m.

Теперь нужно понять физический смысл w₀. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2я. Поэтому x=cosw₀t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2p. Величину w₀t часто называют фазой движения. Чтобы изменить w₀t на 2p, нужно изменить t на t₀ (период полного колебания); конечно, t₀ находится из уравнения w₀t₀=2p. Это значит, что w₀t₀ нужно вычислять для одного цикла, и все будет повто­ряться, если увеличить t на t₀; в этом случае мы увеличим фазу на 2p. Таким образом,

Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет ко­лебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожест­че, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.

Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет периодколебаний, но ничего не го­ворит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конеч­но, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.

Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Реше­ние x=acosw₀t соответствует случаю, когда в начальный мо­мент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент t=0 пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если x=cosw₀t—решение, то, войдя в комнату, где качается пружин­ка, в тот момент (назовем его «t=0»), когда грузик проходит через положение равновесия (x=0), мы будем вынуждены заме­нить это решение другим. Следовательно, x=cosw₀t не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойст­вом обладает, например, решение x=acosw₀(t-t₁), где t₁ — какая-то постоянная. Далее, можно разложить

cos(w₀t+D)=cosw₀tcosD-sinw₀tsinD и записать

x=Acosw₀t+Вsinw₀t,

где A=acosD и В=-asinD. Каждую из этих форм можно ис­пользовать для записи общего решения (21.2): любое из су­ществующих в мире решений дифференциального уравнения

d²x/dt² =-w²₀x можно записать в виде

x=acosw₀(t-t₁), (21.6а)

или

x=acos(w₀t+D), (21.6б)

или

х=Acosw₀t+B sinw₀t. (21.6в)

Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют наз­вания: w₀ называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифферен­циальным уравнением. Другие величины уравнением не опре­деляются, а зависят от начальных условий. Постоянная а слу­жит мерой максимального отклонения груза и называется ам­плитудой колебания. Постоянную D иногда называют фазойколебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой w₀t+D и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что D — это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным D соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли D фазой или нет — уже другой вопрос.

1.7.3 Векторный метод изображения синусоидально изменяющихся величин. При изучении процессов, происходящих в цепях переменного тока, удобно пользоваться методом векторного изображения синусоидально изменяющихся величин. Этот метод основан на том, что при вращении некоторого вектора OA (рис. 170, а) с равномерной угловой скоростью ? проекция ОВ этого вектора на неподвижную вертикальную ось у — у пропорциональна синусу угла ?t, образованного вектором OA с горизонтальной осью х — х, т. е. ОВ = ОА sin ?t. Следовательно, кривая, выражающая зависимость длины проекции ОВ от угла ?t за один оборот вектора OA, будет представлять собой синусоиду (рис. 170,б). Если в качестве длины (модуля) вектора принять амплитудное значение переменного тока Im, то полученная кривая будет представлять собой графическое изображение изменения мгновенного значения тока I от угла ?t. При ?t = 0 (точка 1) вектор OA будет расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 90° (точка 2) вектор OA расположен вертикально вверх и i = I_т при ?t =180° (точка 3) вектор OA также расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 270° (точка 4)

Рис. 170. Изображение синусоидально изменяющегося тока: а — вращающимся вектором; б — в виде кривой

вектор OA расположен вертикально вниз и i=—I_т (проекции ОВ вектора OA, расположенные выше точки 0, будем считать положительными, а расположенные ниже этой точки — отрицательными). Точкам 1—4 на рис. 170, а при различных положениях вращающегося вектора OA соответствуют точки 1—4 на кривой изменения тока i (см. рис. 170,б). Направление вращения векторов условно принимают против часовой стрелки, поэтому углы ?t, которые отсчитывают в направлении вращения векторов, считают положительными, а против этого направления — отрицательными.

В случае если требуется получить векторное изображение нескольких синусоидально изменяющихся величин, например двух токов i₁ и i₂, чертят два вращающихся вектора ОА₁ и ОА₂ (рис. 171, а) с различными модулями 1_т1 и 1_т2

Если в момент начала отсчета синусоидально изменяющаяся величина не равна нулю, а имеет некоторое значение I_т sin ?₁ (рис. 171,б), то вектор ОА₁ в начальный момент при фазе ?t = 0 образует с горизонтальной осью некоторый угол ?₁ Этот угол называется начальным фазным углом, или начальной фазой. Разность начальных фаз синусоидально изменяющихся величин называют сдвигом фаз, или углом сдвига фаз. Например, синусоида

Рис. 171. Изображение двух синусоидально изменяющихся токов: а — вращающимися векторами; б — в виде кривых

тока i₁ имеет начальную фазу ?₁, а синусоида тока i₂— начальную фазу ?₂ Следовательно, токи i₁ и i₂ сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол ? = ?₁ — ?₂. Это означает, что каждая точка синусоиды тока i₁ сдвинута относительно соответствующей точки синусоиды тока i₂ на угол ?. При векторном изображении токов i₁ и i₂ сдвиг фаз между ними выражается в виде угла ? между векторами ОА₁ и ОА₂.

Из. рис. 171,а и б видно, что вектор OА₂ при своем вращении идет впереди вектора ОА₁, т. е. ток i₂при своем изменении достигает нулевых и максимальных значений раньше, чем ток i₁. Следовательно, ток i₂ опережает по фазе ток i₁ на угол ?. Можно также считать, что ток i₁ отстает от тока i₂ на угол ?. Если же две синусоидально изменяющиеся величины, например токи i₁ и i₂, одновременно проходят через нулевые и максимальные значения, то говорят, что они совпадают по фазе. В этом случае они изображаются двумя совпадающими по направлению векторами (? = 0). Векторы, изображающие синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и э. д. с, обозначаются соответствующими буквами с точкой над обозначением, например, ?, ?, ?.

Построение векторных диаграмм. Векторные диаграммы представляют собой совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся величины, действующие в данной электрической цепи. Они позволяют упростить расчет цепей синусоидального тока и сделать его наглядным, применив вместо алгебраического сложения или вычитания мгновенных значений синусоидально изменяющихся токов, напряжений или э. д. с сложение или вычитание их векторов. Обычно при расчете электрических цепей переменного тока нас не интересуют мгновенные значения токов, напряжений и э. д. с, требуется определить только их действующие значения и сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому при построении векторных диаграмм рассматривают неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирают так, чтобы диаграмма была наглядной. В качестве модулей векторов принимают действующие значения соответствующих величин. Это обусловливает лишь уменьшение длины всех векторов по сравнению с длиной, принятой на рис. 170 и 171, в ?2 раз; все же углы между векторами остаются при этом неизменными.

Рассмотрим в качестве примера построение векторной диаграммы для действующих значений токов i₁, i₂ и i (рис. 172), причем согласно первому закону Кирхгофа ток i равен сумме токов i₁ и i₂. Токи i₁ и i₂ имеют различные амплитудные, а следовательно, и действующие значения и сдвинуты относительно друг друга на некоторый угол ?. Путем суммирования ординат синусоид i₁ и i₂ можно получить кривую тока i, определить по ней амплитудное значение I_т, а затем и действующее значение I = I_т / ?2.

Однако более удобно определять действующее значение тока i путем сложения векторов токов i₁ и i₂согласно формуле

? = ?₁ + ?₂

Рис. 172. Графическое сложение двух переменных токов

Рис. 173. Векторное сложение и вычитание двух переменных токов

Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника. В первом случае (рис. 173,а) строят параллелограмм ABCD со сторонами, образованными векторами ?₁ и ?₂. Вектор ?₁ направляют, например, горизонтально (можно начертить этот вектор и в любом другом положении), вектор ?₂ — под углом ? к вектору ?₁. Угол ? на векторной диаграмме отсчитывают от вектора ?₁ по часовой стрелке, так как для рассматриваемого случая ток i₂ отстает от тока i₁ на угол ?. Диагональ АС векторной диаграммы дает нам суммарный вектор результирующего тока ?. Во втором случае (рис. 173,б) строят треугольник ABC со сторонами АВ и ВС, равными соответствующим векторам ?₁ и ?₂ получают суммарный вектор ? в виде гипотенузы АС этого треугольника.

Вычитание векторов двух синусоидально изменяющихся величин можно представить в виде сложения одного вектора с другим вектором, взятым с обратным знаком. Например, если известны токи i и i₁ (см. рис. 172), то действующее значение тока i₂ можно получить вычитанием из вектора ? вектора ?₁, т. е. ?₂ = ? — ?₁ = ? + ( —?₁). Вектор -?₁ имеет такой же модуль, что и вектор +?₁, но направлен противоположно. Следовательно, операцию вычитания векторов ? и ?₁ можно осуществить с помощью векторных диаграмм (рис. 173, в и г).

 Сложение гармонических колебаний

        Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача - найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний - нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

        Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = wt + j₀ где j₀ - начальный угол.

        Проекции вектора А на оси координат запишутся:

        Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу - начальную фазу.

        Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

        Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

        Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f(фаза результирующего колебания).

        Из очевидных геометрических соображений находим:

        Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

        Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности  . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

        Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

        посмотреть на осциллографе

        Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот   - частотой биений (циклической).

        При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

        В общем случае это - уравнение эллипса. При A₁=A₂ - окружность, при   (m - целое) - отрезок прямой.

        Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

Затухание свободных колебаний

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

,                                                     (7.1.1)

где   - коэффициент затухания,   - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника   где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре (рис.7.1.1):  , где R - величина активного сопротивления контура.

Для решения уравнения (7.1.1) производится подстановка  . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:

,                                         (7.1.2)

которое имеет два корня:

 ,   .                                   (7.1.3)

При не слишком большом затухании (при  ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде  , где   - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная   , то корни уравнения (3) запишутся в виде:

 и  .                                                            (7.1.4)

Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

                           (7.1.5)

которую можно представить в виде:

,      (7.1.6)

Здесь   и    - произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:

.                     (7.1.7)

С корость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания  . В соответствии с выражением (7.1.7) коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в «e»=2.718 раз. Период затухающих колебаний определяется формулой:

.                                                                    (7.1.8)

При незначительном затухании ( ) период колебаний практически равен  . С ростом   период увеличивается. Из соотношения (7.1.7) следует, что  . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

.                                                                        (7.1.9)

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина  , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда   энергия изменяется по закону:

,                                                                           (7.1.10)

где   - значение энергии в начальный момент.

Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом g период колебаний увеличивается. При   период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При    выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.

Добротность колебательной системы      Добротность — количественная характеристика резонансных свойств колебательной системы, указывающая, во сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний прирезонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса, т. е. в области столь низких частот, где амплитуду вынужденных колебаний можно считать не зависящей от частоты. На этом свойстве основан метод измеренияДобротность колебательной системы Величина добротности характеризует также и избирательность колебательной системы; чем больше добротность, тем уже полоса частот внешней силы, которая может вызвать интенсивные колебания системы. Экспериментально Добротность колебательной системы обычно находят как отношение частоты собственных колебаний к полосе пропускания системы, т. е. Q = w/Dw. Численные значения Добротность колебательной системы: для радиочастотного колебательного контура 30—100; для камертона 10000; для пластинки пьезокварца 100000; для объёмного резонатора СВЧ колебаний 100—100000.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний, резонанс.

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту w_рез, — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w_рез :

Это равенство выполняется при w=0, ± , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

                                                      (148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим илиэлектрическим). При   значение w_рез практически совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы. Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

                                                                  (148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях d. Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше d, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если w® 0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения  , которое называют статическим отклонением. В случае механических колебаний  , в случае электромагнитных – U_m/(L ). Если w®¥, то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называется резонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании ( ) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)),  — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Qхарактеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше А_рез.

На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

максимальна при w_рез=w₀ и равна  , т. е. чем больше коэффициент затухания d, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tgj =   (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (d=0), то только в этом случае колебания и вынуждающая сила (прило­женное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях j ¹0.

Зависимость j от w при разных коэффициентах d графически представлена на рис. 212, из которого следует, что при изменении w изменяется и сдвиг фаз j. Из формулы (147.9) вытекает, что при w=0 j=0, а при w=w₀ независимо от значения коэффициента затухания j = p/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на p/2. При дальнейшем увеличении w сдвиг фаз возрастает и при w>>w₀ j ® p, т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называется фазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.