Тема 1.5 Элементы релятивисткой динамики.

Преобразования Лоренца.

Исходя из сформулированных выше постулатов теории относительности Эйнштейна, можно найти законы преобразований, связывающие межу собой пространственные координаты и время в двух системах отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно относительно друг друга.

Пусть х, у, z, и х’, у’, z’ и t’,- координаты и время в инерциальных систем отсчета K и K’, а v - скорость их относительного движения (рис. 6.1).

При этом нет никаких оснований полагать, что время в системе   совпадает со временем в системе K, как это безоговорочно принималось в классической физике. Для просторы выкладок выберем направление скорости за направление осей х и  . Предположим, что в некоторый момент времени t’ в точке скоординатами  происходит некоторый физический процесс, который назовем событием. Нашей задачей является нахождение «координат» события в системе отсчета K’, т.е. нахождение величин х, y, z, t, характеризующих тот же физический процесс в системе K.

Выберем за начало отсчета времени t=0 тот момент, в который начало координат системы K’ совпадало с началом координат системы K. Пусть в момент времени t=0 из начала координат начала распространяться сферическая электромагнитная волна (рис.6.2). В системе K уравнение волновой поверхности имеет вид.

или

(6.1)

Поскольку, согласно принципу относительности Эйнштейна, закон и величина скорости распространения волны должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, наряду с этим уравнением с равным правом можно написать уравнение сферической волны в системе K’.

Так как в начальный момент времени начало координат систем совпадали, то

(6.2)

Формулы преобразования координат и времени должны, во-первых, не нарушать соотношений (6.1) и (6.2), а, во-вторых, быть линейными. Требования линейности связано с однородностью пространства. Т.к. движение системы K’ происходит только вдоль оси х преобразование координат у и z должно иметь вид

Закон преобразования х’ через х можно написать, исходя из следующегосоображения: если в момент времени t=0 начала систем координат K и K’ совпадали, то координата плоскости х’ в системе K запишется х=νt. Следовательно, в самом общем случае можно написать

(6.3)

где коэффициент   может зависеть лишь от скорости относительного движения. Не делая никаких произвольных допущений о совпадении времени в двух системах отсчета, мы можем представить t’ в виде линейной однородной функции х и t

(6.4)

Kоэффициенты   и   могут, вообще говоря, зависеть от скорости v. Если бы оказалось, что  , а  , то мы вернулись бы к преобразованиям Галилея. Для определения коэффициентов  ,   и  , отвечающих Требованиям принципа относительности Эйнштейна, мы должны подставить (6.3) и (6.5) в (6.2). Это дает

Для выполнения тождества необходимо приравнять коэффициенты при х²,t²и хt. Раскрыв скобки и проведя соответствующие преобразования получим:

Из этих трех уравнений находим неизвестные величины  ,   и  ,:

При этом всюду мы выбрали положительный знак корня. Подставляя значения  ,   и   в преобразования координат (6.3) и (6.4) находим:

(6.5)

Эти формулы носят название преобразований Лоренца. Формулы обратного преобразования от штрихованных к не штрихованным величинам:

(6.6)

Преобразования Лоренца приводят к выводам, коренным образом противоречащим привычным представлениям о свойствах времени и пространства, сложившимся на основе повседневного опыта. Рассмотрим несколько примеров применения преобразований Лоренца.

Полная энергия частицы.

  Второй закон Ньютона гласит, что производная импульса час­тицы (материальной точки) по времени равна результирующей силе, действующей на частицу. Уравнение вто­рого закона оказывается инвариантным относительно преобразо­ваний Лоренца, если под импульсом подразумевать величину (13). Следовательно, релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид

                                                                                             (16)

   Следует иметь в виду, что соотношение mw=F в релятивистском случае неприменимо, причем ускорение w и сила F, вообще говоря, оказываются неколлинеарными.

Заметим, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Формулы преобразования компонент импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой будут получены в следующем параграфе. Формулы преобразования ком­понент силы мы дадим без вывода:

                 ,     ,               (17)

( ,   – скорость частицы в системе К?). Если в системе К’ действующая на частицу сила F’ перпендикулярна к скорости час­тицы  , скалярное произведение   равно нулю и первая из фор­мул (17) упрощается следующим образом:

                                                 .                                                (18)

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим уравнение (16) на перемещение частицы . В результате получим

                                              .

Правая часть этого соотношения дает работу dA, совершаемую над частицей за время dt. Работа результи­рующей всех сил идет на приращение кинетической энергии частицы. Следовательно, левая часть со­отношения должна быть истолкована как приращение кинетической энергии Т частицы за время dt. Таким образом,

                              .

   Преобразуем полученное выражение, приняв во внимание, что  :

        

Интегрирование полученного соотношения дает

                                                 .                    (19)

По смыслу кинетической энергии она должна обращаться в нуль при  =0. Отсюда для константы получается значение, равное — тс2. Следовательно, релятивистское выражение для кинетиче­ской энергии частицы имеет вид

                              .                     (20)

   В случае малых скоростей ( ) формулу (20) можно преобра­зовать следующим образом:

                            .

   Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энер­гии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской меха­ники должны переходить в соответствующие формулы ньютонов­ской механики.

   Рассмотрим свободную частицу (т. е. частицу, не подвержен­ную действию внешних сил), движущуюся со скоростью и. Мы вы­яснили, что эта частица обладает кинетической энергией, опреде­ляемой формулой (20). Однако имеются основания (см. ниже) приписать свободной частице, кроме кинетической энергии (20), дополнительную энергию, равную

                                                            .                                                (21)

Таким образом, полная энергия свободной частицы определяется выражением  . Приняв во внимание (20), по­лучим, что

                                                                                 (22)

   При   выражение (22) переходит в (21). Поэтому  называют энергией покоя. Эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением час­тицы как целого. Формулы (21) и (22) справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из мно­гих частиц. Энергия   такого тела содержит в себе, помимо энер­гий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энер­гию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их взаимодействия друг с другом. В энер­гию покоя,  как и в полную ) энергию (22), не входит потенциаль­ная энергия тела во внешнем силовом поле.

   Исключив из уравнений (13) и (22) скорость v (уравнение (13) нужно взять в скалярном виде), получим выражение полной энергии частицы через импульс р:

                                                            .                                        (23)

В случае, когда   , эту формулу  можно представить в виде

                         .                 (24)

Полученное выражение отличается от ньютоновского выражения для кинетической энергии  слагаемым тс2.

   Заметим, что из сопоставления выражений (13) и (22) выте­кает формула

                                                                                                                (25)

   Поясним, почему свободной частице следует приписывать энер­гию (22), а не только кинетическую энергию (20). Энергия по своему смыслу должна быть сохраняющейся величиной. Соответ­ствующее рассмотрение показывает, что при столкновениях частиц сохраняется сумма (по частицам) выражений вида (22), в то время как сумма выражений (20) оказывается несохраняющейся. Не­возможно удовлетворить требованию сохранения энергии во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать энергию по­коя (21) в составе полной энергии.

   Кроме того, из выражения (22) для энергии и выражения (13) для импульса удается образовать инвариант, т. е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Действительно, из формулы (23) вытекает, что

                                                                                           (26)

(напомним, что масса т и скорость с являются инвариантными ве­личинами). Эксперименты над быстрыми частицами подтверждают инвариантность величины (26) Если под Е в (26) понимать кинетическую энергию (20), выражение (22) оказывается не инвариантным.

   Получим еще одно выражение для релятивистской энергии. Из формулы (64.3) следует, что

 

где dt — промежуток времени между двумя происходящими с час­тицей событиями, отсчитанный по часам той системы отсчета, от­носительно которой частица движется со скоростью  ,   – тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей (промежуток собственного времени). Подставив (27) в формулу (22), получим выражение

.

Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы.

Полная энергия Е и импульс р не являются инвариантами. Действительно, обе величины зависят от  , скорость же в различ­ных системах отсчета имеет неодинаковое значение. Выясним, как преобразуются энергия и импульс при переходе от одной системы отсчета к другой.

   Рассмотрим элементарное перемещение некоторой частицы. Пусть в системе отсчета К это перемещение осуществляется за время dt, а компоненты перемещения равны dx, dy, dz, В системе К? то же самое перемещение происходит за время dt’, а его компоненты равны dx’, dy’, dz’. Между про­межутками времени и компонентами перемещения имеются соот­ношения

                     ,     ,      ,      . 

Умножим эти формулы на массу частицы т и разделим на соот­ветствующее промежуткам dt и dt’ собственное время частицы   (напомним, что масса и собственное время являются инвариантными величинами, т. е. имеют одинаковое значение в обеих системах). В результате получим

                                         ,

                                         ,     ,                          (32) 

                                         .

   Согласно формуле      ,   ,    и т.д. В соответствии с (28)   ,   .С учетом этого формулы (32) можно представить в виде

                        ,   ,   ,   .     (33)

   Мы получили формулы, по которым преобразуются импульс и энергия частицы при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой. Эти формулы совпадают с формулами по которым преобразуются координаты и время. Чтобы легче было производить сопоставление, напишем эти формулы рядом

                                   ,                        ,

                                                               ,     ,                  (34)

                                    ,                    .

Из сопоставления следует, компоненты импульса ведут себя при преобразованиях как координаты, а энергия – как время.

   Вскрываемая формулами (34) аналогия позволяет представить математический аппарат релятивистской механики в виде соотношений между векторами в воображаемом четырехмерном пространстве (четырехвекторами). Этому пространству приходится предписывать необычные свойства, отличные от свойств привычного нам евклидова пространства. В трехмерном евклидовом пространстве величина

                                                               

является инвариантом, т.е. не изменяется при поворотах координатных осей. В противоположность этому величина

                                                                                              (35)                                 

оказывается не инвариантной – она не сохраняется при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой (такой переход можно представить как поворот осей в четырех мерном пространстве). Следовательно, величина (35) не обладает свойствами квадрата расстояние между двумя мировыми точками. Инвариантным, является выражение

                                                                             (36)

которое и можно рассматривать как квадрат расстояния между двумя   точками   в   интересующем  нас  четырехмерном  простран­стве.

   Наделив четырехмерное пространство такими свойствами, мы можем рассматривать величины ct, x, у, z как компоненты  четырехвектора, проведенного из начала координат в данную мировую точку. Соответственно с  ,  ,  и   можно рассматривать как компоненты четырехвектора – перемещения из одной мировой точки в другую. В трехмерном евклидовом пространстве, кроме радиус-вектора и вектора перемещения, рассматриваются и дру­гие векторы (скорости, ускорения, силы и т. д.), причем для лю­бого вектора а величина

                                                     

является инвариантом. Компоненты любого такого вектора преоб­разуются при поворотах координатных осей по таким же форму­лам, как и координаты.

   По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом прост­ранстве можно определить четырехмерные векторы. Под четырех­мерным вектором понимают совокупность четырех величин at, ax, ау, az, преобразующихся по тем же формулам, что и ct, x, у, z (см. левый столбец формул (34)). “Квадрат” такого вектора следует определить как

                                                                                              (37)

Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как коор­динаты, выражение (37) оказывается инвариантным по отноше­нию к преобразованиям Лоренца.

   Из формул (34) следует, что совокупность величин

                                                          ,  ,  ,                                      (38)

образует четырехвектор . Его называют вектором энергии-импульса. Образованное из компонент (38) выражение вида (37) является, инвариантом: