Тема 1.1 Элементы кинематики.

1.1.1 Пространственно-временные отношения

Механика – наука о простом перемещении тел в пространстве и во времени.

Масштабы пространства, времени и скоростей перемещения могут изменяться в очень широких пределах (рис. 1.1).

Масштабы пространства:

пространство Вселенной, доступное для наблюдения посредством современных методов, достигает 1026 м;

размеры ядер имеют порядок 10-15 м;

на мощных ускорителях исследуется структура частиц до расстояний 10-18 м.

Время:

время существования Вселенной оценивается в 1018 с;

современные методы дают возможность измерять время жизни нестабильных частиц до 10-11 с.

Скорость:

естественным масштабом скоростей в природе служит скорость распространения электромагнитных волн в вакууме c = 2,998·108 м/с.

Скорость света в вакууме является предельно высокой скоростью любого материального объекта. Её называют универсальной (мировой) постоянной.

Если скорость движения объекта пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света, так, что (v/c)2 << 1, то движение является нерелятивистским. В противном случае – релятивистское.

Законы движения существенно отличаются, в зависимости от пространственных масштабов (макромир и микромир).

Линейный размер атомов равен 10-10 м. Этот размер является одним из признаков перехода от макромира к микромиру. Он получил название Ангстрем (1 = 10-10 м).

Критерием применимости законов макро- или микромира является универсальная константа – постоянная Планка . Движение макроскопических тел подчиняется законам классической механики, именно с этого раздела мы начнем с вами изучать физику.

Движение микрочастиц подчиняется законам квантовой механики, электродинамики, качественно отличающимся от классических. Другими словами, движение описывается классическими законами, если . Например, электрон в атоме водорода имеет: m = 10-30 кг, v = 102 м/с, R ~ 10-10 м. Тогда , т.е. здесь движение подчинено квантовым законам.

Другой пример: камень весом 1000 кг свалился с горы высотой 30 м со скоростью v = 5 м/c, следовательно, . В данном случае применяются законы классической механики.

Обобщая вышесказанное, следует отметить, что механика подразделяется на классическую и квантовую и в пределах каждой из них рассматривают релятивистское и нерелятивистское движение.

Квантовые и релятивистские представления имеют более общий характер, и законы классической и нерелятивистской механики вытекают из квантовых и релятивистских представлений при переходе соответствующих границ.

Система отсчёта — это совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и системы отсчёта времени, по отношению к которым рассматривается движение (или равновесие) каких-либо материальных точек или тел[1][2].

Математически движение тела (или материальной точки) по отношению к выбранной системе отсчёта описывается уравнениями, которые устанавливают, как изменяются с течением времени t координаты, определяющие положение тела (точки) в этой системе отсчёта. Эти уравнения называются уравнениями движения. Например, в декартовых координатах х, y, z движение точки определяется уравнениями , , .

В современной физике любое движение является относительным, и движение тела следует рассматривать лишь по отношению к какому-либо другому телу (телу отсчёта) или системе тел. Нельзя указать, например, как движется Луна вообще, можно лишь определить её движение, например, по отношению к Земле, Солнцу, звёздам и т. п.

Абсолютная система отсчёта

Часто в физике какую-то СО считают наиболее удобной (привилегированной) в рамках решения данной задачи — это определяется простотой расчётов либо записи уравнений динамики тел и полей в ней. Обычно такая возможность связана с симметрией задачи.

С другой стороны, ранее считалось, что существует некая «фундаментальная» система отсчёта, простота записи в которой законов природы выделяет её из всех остальных систем. Например, физики XIX в. считали что, система, относительно которой покоится эфир электродинамики Максвелла, является привилегированной, и поэтому она была названа Абсолютной Системой Отсчета (АСО). В современных представлениях никакой системы отсчёта, выделенной именно таким способом, не существует, так как законы природы, выраженные в тензорной форме, имеют один и тот же вид во всех системах отсчёта — то есть во всех точках пространства и во все моменты времени. Это условие — локальная пространственно-временная инвариантность — является одним из проверяемых оснований физики.

Инерциа́льная систе́ма отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив первый закон Ньютона (закон инерции): все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся[1]. Эквивалентной является следующая формулировка, удобная для использования в теоретической механике[2]:

Инерциальной называется система отсчёта, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным.

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, к которой не применим закон инерции (говорящий о том, что каждое тело, в отсутствие действующих на него сил, движется по прямой и с постоянной скоростью), и поэтому для согласования сил и ускорений в которой приходится вводить фиктивные силы инерции. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, является неинерциальной.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механика постулирует следующие два принципа:

1. время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

2. пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется первый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

,

где   — масса тела,   — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта,   — сумма всех внешних сил, действующих на тело,   — переносное ускорение тела,   — кориолисово ускорение тела.

Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

•  — переносная сила инерции

•  — сила Кориолиса

Векторные и скалярные величины.

 Вектор − чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.  Вектор − направленный отрезок прямой.  В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными.  Скалярными величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l, масса − m, путь − s, время − t, температура − T, электрический заряд − q, энергия − W, координаты и т.д.  К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).

 Пример 1.  Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q₁ = 2 нКл, q₂ = −7 нКл, q₃ = 3 нКл. Полный заряд системы

q = q₁ + q₂ + q₃ = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10⁻⁹ Кл.

 Пример 2.  Для квадратного уравнения вида

ax² + bx + с = 0;

x_1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b² − 4ac}).

 Векторными величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v, сила F, импульс p, напряженность электрического поля E, магнитная индукция B и др.  Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r|.  Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),

длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора. Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.  Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).  Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.  Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор

с = a + b

равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b. Модуль его

с = √{a² + b² − 2abcosα} (рис. 2).

При α = 90°, с = √{a² + b²} − теорема Пифагора.

 Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a отложить вектор b. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a и конец вектора b) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a и b).  Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).

 Пример 3.  Сложить две силы F₁ = 3 Н и F₂ = 4 Н, векторы F₁ и F₂ составляют с горизонтом углы α₁ = 10° и α₂ = 40°, соответственно  F = F₁ + F₂ (рис. 4).

 Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F₁ и F₂, как сторонах, и по модулю равен ее длине.  Модуль вектора F находим по теореме косинусов

F = √{F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(α₂ − α₁)},

F = √{3² + 4² + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.

Если

(α₂ − α₁) = 90°, то F = √{F₁² + F₂²}.

 Угол, который вектор F составляет с осью Ox, находим по формуле

α = arctg((F₁sinα₁ + F₂sinα₂)/(F₁cosα₁ + F₂cosα₂)),

α = arctg((3•0,17 + 4•0,64)/(3•0,98 + 4•0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

 Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a и оси Ox (Oy). (рис. 5)

 Проекции вектора a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)

 Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)

 Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный

a − b = a + (−b) = d (рис. 8).

 Пусть надо из вектора a вычесть вектор b, их разность − d. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a прибавить вектор (−b), то есть вектором d = a − b будет вектор, направленный от начала вектора a к концу вектора (−b) (рис. 9).

 В параллелограмме, построенном на векторах a и b как сторонах, одна диагональ c имеет смысл суммы, а другая d − разности векторов a и b (рис. 9).  Произведение вектора a на скаляр k равно вектору b = ka, модуль которого в k раз больше модуля вектора a, а направление совпадает с направлением a при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

 Пример 4.  Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)

Импульс тела p = mv; p = 2 кг•м/с = 10 кг•м/с и направлен в сторону скорости v.

 Пример 5.  Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

 Сила равна F = qE. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E. (рис. 11)

 Деление вектора a на скаляр k равнозначно умножению a на 1/k.  Скалярным произведением векторов a и b называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

(a•b) = (b•a) = c,

с = ab•cosα (рис. 12)

 Пример 6.  Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.

 Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения

A = (F•S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.

 Векторным произведением векторов a и b называют вектор c, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:

с = a × b = [a, b],

с = ab × sinα.

 Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b, причем его направление связано с направлением векторов a и b правилом правого винта (рис. 13).

 Пример 7.  Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.

 Сила Ампера

dF = I[dl, B] = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},

F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

1.1.2 Ускорение при криволинейном движении.

Рассматривая криволинейное движение тела, мы видим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда величина скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и величина, и направление скорости.

Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении.

Таким образом, в криволинейном движении всегда имеется изменение скорости, т. е. это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по величине и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. требуется найти изменение величины и изменение направления скорости.

Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в  некоторый   момент скорость v₁ а  через  малый промежуток времени — скорость v₂. Изменение скорости есть разность между векторами v₁ и v₂. Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Изменение скорости выразится вектором w, изображаемым стороной параллелограмма с диагональю v₂ и другой стороной v₁. Ускорением мы называем отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло. Значит, ускорение а равно

и по направлению совпадает с вектором w.

Выбирая t достаточно малым, придем к понятию векторного мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном t вектор абудет представлять среднее ускорение за промежуток времени t.

Направление ускорения криволинейного движения не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают. Чтобы найти направление вектора ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение при криволинейном движении всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках АВ и ВС всегда направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от A к С или в обратном направлении.

Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости страектории.

Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения.

Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это — ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения А и В движущейся точки, соответствующие малому промежутку времени t (рис. 51, а). Скорости движущейся точки в А и В равны по величине,  но различны по направлению.

Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники ОАВ и О'А'В' подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны А'В', изображающей приращение скорости за промежуток времени t, можно положить равной at, где а — величина искомого ускорения. Сходственная ей сторона АВ есть хорда дуги АВ; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т. е. vt. Далее, 0'A'=0'B'=v; ОА= OB=R, где R — радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:

откуда находим искомое ускорение по величине:

          (27.1)

Направление ускорения перпендикулярно к хорде АВ. Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, найденное ускорение можно считать направленным перпендикулярно («нормально») к касательной к траектории, т. е. по радиусу, к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.

Если траектория — не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет нормально к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по величине и направлению, его можно найти как отношение приращения вектора скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае вектор ускорения можно найти по векторной формуле

          (27.2)

аналогичной формуле (18.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь v₀ — вектор скорости тела в начальный момент промежутка времени t, a v — вектор скорости в  конечный  момент этого промежутка.

 Равномерное движение материальной точки по окружности

 Движение по окружности является достаточно распространенным в окружающем нас мире: при вращении любого твердого тела вокруг фиксированной оси все точки этого тела движутся по окружностям. Так как все окружности подобны, то достаточно описать движение одной из них, чтобы описать вращение всего твердого тела. Кроме того, равномерное движение по окружности является простейшим криволинейным движением.  Пусть материальная точка движется с постоянной по модулю скоростью v по окружности радиуса R. При таком движении направление вектора скорости v постоянно изменяется (рис. 71), следовательно, как и при любом криволинейном движении, движение по окружности есть движение с ускорением.

Рассмотрим изменение вектора скорости тела за малый промежуток времени Δt (рис. 72). Обозначим положение точки, движущейся по окружности радиуса R, в некоторый момент времени А_o.

Вектор скорости v_o в этот момент направлен по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу ОА_o. За время Δt частица переместилась в точку A₁, ее скорость v₁ изменила направление и стала перпендикулярна радиусу ОА₁ (но модуль ее остался неизменным: |v_o| = |v₁| = v). Для того чтобы вычислить изменение скорости, совместим начало векторов v_o и v₁. Тогда треугольник, образованный векторами скоростей, подобен треугольнику OA_oA₁. Из подобия этих треугольников следует

Если рассматривать изменение положения частицы и ее скорости за очень малый промежуток времени, то длина хорды |А_oА₁| будет очень близка к длине дуги А_oА₁ S = vΔt,

поэтому

откуда получаем

Таким образом, модуль ускорения точки равен:

Чтобы полностью определить вектор ускорения, необходимо выяснить его направление. Заметим, что при малой величине Δt угол между векторами v_o и v₁ крайне мал, поэтому можно считать, что вектор изменения скорости направлен перпендикулярно¹ как вектору v_o, так и векторуv₁. Следовательно, вектор ускорения в данном случае направлен к центру окружности.  Вектор ускорения точки при ее равномерном движении по окружности направлен к центру окружности, а его модуль равен v²/R. Такое ускорение называется центростремительным.  Как мы уже отмечали ранее, материальная точка, движущаяся по заданной линии, обладает одной степенью свободы, поэтому ее положение однозначно определяется одной координатой. В случае движения точки по окружности в качестве такой единственной координаты удобно выбрать угол поворота.

 Математическое отступление: радианная мера угла  Градусная мера измерения углов оказывается не слишком удобной при описании механического движения. Поэтому в физике чаще используется другая единица измерения углов. Напомним, углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами. Построим внутри угла несколько дуг окружностей разных радиусов, центры которых совпадают с вершиной угла (рис. 73).

Длина дуги s, заключенной внутри угла, конечно, зависит от ее радиуса, однако отношение длины дуги к ее радиусу зависит только от величины угла:

s₁/r₁ = s₂/r₂ = s₃/r₃.

Поэтому это отношение может служить мерой угла. Таким образом, радианной мерой угла называется отношение длины дуги окруж-ности с центром в вершине угла и расположенной внутри угла к ее радиусу: φ = s/r.

Легко установить соответствие между радианной и градусной мерой. Так как длина окружности равна s = 2πr, то полный угол равен φ = 2πрадиан². Соответственно, развернутый угол равен π радиан, прямой угол − π/2 радиан. В общем виде связь между градусной φ° и радианной φмерой выражается формулами φ° = (180/π) × φ; φ = (π/180) × φ°. (3)

Один радиан равен 180/π = 57,3°.

Основные достоинства радианной меры заключаются в том, что, во-первых, единица измерения радиан является безразмерной величиной (отношение двух длин), во-вторых, очень просто выражается длина дуги через радиус и величину угла s = rφ.

Связывая меру угла с длиной дуги, мы можем рассматривать углы произвольной величины − большие, чем угол 2π (360°). Таким углам соответствует дуга, несколько раз охватывающая целую окружность. Так, например, угол поворота φ = 10π равен пяти полным оборотам. Это очень удобно при описании вращательного движения: чем больше вращается тело, тем больший угол его поворота. Конечно, при движении по окружности материальная точка регулярно проходит через одни и те же положения в пространстве, поэтому, зная угол поворота, мы однозначно определим положение точки, но зная только положение точки (например, ее декартовые координаты), мы не можем однозначно определить угол поворота, так как нам неизвестно, сколько оборотов совершила данная точка к данному моменту времени.

 Пусть материальная точка движется по окружности радиуса R. Введем декартовую систему координат, начало которой совместим с центром окружности (рис. 74). Положение точки на окружности однозначно определяется углом φ между осью X и радиус-вектором точки.

Конечно, оси координат можно направить произвольно, да и угол можно отсчитывать от оси Y, однако мы в дальнейшем для однозначности будем отсчитывать угол поворота от оси X в направлении против часовой стрелки.  Декартовые координаты точки однозначно выражаются через угол поворота по формулам

При движении точки ее координата, то есть угол поворота, изменяется, становится функцией времени. Поэтому закон движения в этом случае представляется функцией φ(t), то есть зависимости угла поворота от времени.  По аналогии с одномерным движением введем понятие угловой скорости.  Угловой скоростью ω называется отношение угла поворота к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошел, при промежутке времени, стремящемся к нулю:

Единицей угловой скорости является рад/с − радиан в секунду, однако так как радиан является безразмерной величиной, размерность угловой скорости может быть просто 1/с = с⁻¹ − секунда в минус первой степени.  При равномерном движении по окружности угловая скорость является постоянной и равна углу поворота в единицу времени. Время одного оборота (эту величину еще называют период вращения) Т легко найти, если вспомнить, что один оборот соответствует углу поворота 2π, поэтому

T = 2π/ω. (6)

Число оборотов в единицу времени называют частотой вращения, и она вычисляется по формуле n = 1/T = ω/(2π). (7)

Установим связь между угловой и линейной скоростями при движении материальной точки по окружности. Модуль линейной скорости определяется как отношение пройденного пути к промежутку времени, за который этот путь пройден v = S/Δt, а при движении по окружности длина пути (длина дуги окружности) выражается через угол поворота (выраженный в радианах): s = RΔφ, поэтому

v = RΔφ/Δt = Rω. (8) Запишем также выражение для центростремительного ускорения, используя понятие угловой скорости: a = v²/R = (Rω)²/R = Rω². (9) Специально отметим, что формулы (8) и (9) остаются справедливыми при движении по окружности и в том случае, когда скорость точки изменяется по абсолютной величине. Так, при выводе формулы (8) можно рассмотреть случай Δt → 0. В таком пределе скорость v будет являться мгновенной скоростью, а ω − мгновенной угловой скоростью.

При вращении вокруг фиксированной оси направление вращения может иметь только два значения − по часовой стрелке и против часовой стрелки. Поэтому в этом случае можно говорить о двух знаках угловой скорости, обычно − плюс при вращении против часовой стрелки и минус − при вращении по часовой стрелке. Для того чтобы описать произвольное вращение, необходимо задать также ось вращения. Оказывается, удобно задавать ось вращения с помощью вектора, направленного вдоль этой оси. Если совместить эти две характеристики вращения, то получим вектор угловой скорости ω, направление которого совпадает с осью вращения, а модуль равен определенной нами угловой скорости. Используя математическую операцию векторного произведения, можно записать выражение для связи между линейной и угловой скоростями:

Аналогично можно определить вектор углового ускорения:

который определяет не только изменение скорости вращения, но и изменение оси вращения.

 ¹Иными словами, вектор скоростей представляет собой равнобедренный треугольник с очень малым углом при его вершине. Тогда равные углы при основании треугольника будут близки к прямым.  ²Часто наименование «радиан» опускают и говорят: «полный угол равен 2π, прямой угол равен π/2 и т. д.

Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость при вращении тела вокруг неподвижной точки

Угловой скоростью называют векторную величину, характеризующую быстроту вращения твердого тела, определяемую как приращение угла поворота тела за промежуток времени.

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Δt → 0, за который твердое тело совершает поворот на бесконечно малый угол Δα вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.2).

Рис. 3.2

Предел, к которому стремится отношение Δα / Δt, называется угловой скоростью твердого тела в рассматриваемый момент времени

Угловая скорость является векторной величиной. Вектор угловой скорости ω может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси Ω, так, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки.

Угловое ускорение при вращении тела

Угловым ускорением называют степень изменения угловой скорости.

З а вектор углового ускорения ε при вращении тела вокруг неподвижной точки принимают вектор, который характеризует изменение угловой скорости ω в данный момент как по числовой величине, так и по направлению. Такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости ω. Таким образом, угловое ускорение определяется так:

Рис. 3.3

В общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а, как производная по времени от вектора ω, параллельно касательной к годографу этого вектора. Условимся угловое ускорение ε изображать в любой точке прямой, параллельной этой касательной годографа угловой скорости u, но проходящей через неподвижную точку тела (рисунок 3.3). Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью углового ускорения и обозначается E.