Набор истинностных значений 0001 в первой строке таблицы соответствует результатам операций:
0 0 = 0;
0 1 = 0;
1 0 = 0;
1 1 = 1.
Как известно, в
арифметике вначале выполняются операции
умножения или деления, а затем – сложения
или вычитания. Логические связки также
подчиняются подобному правилу. Приоритет
применения
связок возрастает в следующем порядке:
,
,
,
.
Чтобы изменить этот порядок, то, как и
в арифметике, необходимо использовать
скобки.
Переменные и формулы в исчислении высказываний
Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозициональной переменной. Понятие пропозициональной формулы вводится по индукции:
выражение, состоящее только из пропозициональной переменной, является пропозициональной формулой;
если A и B – пропозициональные формулы, то каждое из выражений A, (A B), (A B), (A B) и (A
B)
– пропозициональная формула;последовательность символов только тогда является пропозициональной формулой, когда она построена в соответствии с 1) и 2).
Пример 4.2. Примеры пропозициональных формул:
P ((A B) C ,
Q ((A C) (A B)).
Булевы функции
Функция
,
у которой аргументы пробегают множество
{0,1} и которая принимает значение из
того же множества {0,1}, называется функцией
алгебры логики
или булевой
функцией.
Особое значение имеют так называемые элементарные булевы функции. Двухместными элементарными булевыми функциями являются конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сумма по модулю 2, эквиваленция, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Символы А и B из табл. 4.2 следует в этом случае толковать как булевы переменные {0,1}.
Имеются две
одноместные булевы функции, зависящие
от x:
тождественная
функция
и
отрицание
.
Это элементарные функции (табл. 4.3).
Таблица 4.3
x |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Имеются две
нуль-местные элементарные булевы
функции: это константы 0 и 1. Каждой
пропозициональной формуле можно
сопоставить булеву функцию. Булева
функция
,
сопоставленная пропозициональной
формуле A, называется
функцией истинности формулы A.
Любую такую функцию можно описать с
помощью соответствующей таблицы
истинности (примеры – табл. 4.3, табл.
4.4, табл. 4.5).
Пусть
и
– функции истинности
формул P
и Q;
пусть {
}
– множество тех переменных, которые
встречаются хотя бы в одной из функций
и
.
Пропозициональные формулы P
и
Q
называются эквивалентными,
если на всяком наборе (
)
значений переменных
значения
функций
и
совпадают (эквивалентность обозначают
как: P
Q).
Пример 4.3. Покажем эквивалентность выражений
P A B и Q A B.
Для этого построим таблицу истинности (табл. 4.4).
Таблица 4.4
A |
B |
(A, B) P A B |
(A, B) Q A B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Поскольку (A, B) = (A, B), то P Q.
Пример 4.4. Покажем эквивалентность выражений
P A (B C) и Q (A B) (A C).
Для этого снова построим таблицу истинности (табл. 4.5).
Таблица 4.5
A |
B |
C |
(A, B, C) P A (B C) |
(A, B, C) Q (A B) (A C) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Поскольку (A, B, C) = (A, B, C), то P Q. Как можно видеть, в примере 4.3 используются двухместные функции истинности, а в примере 4.4 – трехместные.