Лекция № 4. Основы математической логики

Виды доказательства

Древние греки сформулировали основные правила логического доказательства. Они различали два вида доказательства: дедукцию и индукцию. Дедукция – это доказательство от общего к частному. Индукция – напротив, доказательство от частного к общему.

Рассмотрим классический пример. Задана так называемая большая посылка (или общее утверждение): «Все люди смертны». Также задана малая посылка (частное утверждение): «Сократ – человек». Из этих посылок методом дедукции легко получить заключение: «Сократ – смертен». В большой и малой посылках содержится достаточно информации, чтобы быть абсолютно уверенным в этом.

Если из малой посылки и заключения получают большую посылку, то такой метод доказательства называется индукцией. В малой посылке «Сократ – человек» и заключении «Сократ – смертен» не содержится достаточно информации, чтобы прийти к утверждению: «Все люди смертны». Мы можем рассматривать его только как гипотезу. Допустим, окажется, что смертен не только Сократ, но и Платон, который также является человеком. Степень нашей уверенности возрастает, однако она никогда не будет абсолютной, поскольку в будущем, возможно, родится человек, который будет жить вечно (а вдруг?).

Таким образом, дедукция обладает неоспоримым преимуществом перед индукцией. Однако научное знание, как правило, получают методом индукции, поскольку в готовом виде общие утверждения человеку никто не посылает, приходится основываться на частном опыте. Даже гениальные озарения являются результатом длительных наблюдений и размышлений.

Математики нового времени ввели еще один тип доказательства, неизвестный древнегреческим математикам, абдукцию. Это доказательство малой посылки, основанное на большой посылке и заключении. В нашем примере на основании утверждений: «Все люди смертны» и «Сократ – смертен», мы можем вывести методом абдукции утверждение, что: «Сократ – человек». Очевидно, что этот вид доказательства тоже не столь безупречен, как дедукция. Ведь Сократ вполне может оказаться котом или собакой, которые также смертны.

Логические высказывания, связки и операции

Высказывание – имеющее смысл языковое выражение, относительно которого можно утверждать, что оно либо истинно (True), либо ложно (False). Вместо слов True и False часто употребляются числа 1 и 0 соответственно.

Пример 4.1. Имеем два высказывания: «Дважды два четыре» и «3+5=9». Первое высказывание имеет истинное значение, а второе – ложное.

Если отвлечься от смысла высказывания, его можно обозначить буквой и рассматривать как переменную. Используя логические связки: «НЕ», «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ ..., ТО...» и другие – можно из одних высказываний строить новые высказывания. Построение из заданных высказываний нового высказывания называется логической операцией.

Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д. В алгебре логики логические операции чаще всего описываются с помощью таблиц истинности. Для одноместной операции «не» («инверсия») таблица истинности выглядит так.

Таблица 4.1.