3.4. Энтропийная размерность

Пусть X – компактное пространство с метрикой d. Тогда множество называется r-плотным, если , где – шар радиуса r относительно метрики d с центром в точке x. Определим r-емкость пространства (X, d) как минимальное число элементов в его r-плотном множестве.

Пример 3.1. Например, если X – это отрезок [0, 1] с обычной метрикой, то значение приближенно равно 1/(2r), потому что необходимо 1/(2r) шаров (т.е. интервалов), чтобы покрыть единичный отрезок.

Пример 3.2. Возьмем единичный квадрат . Тогда значение имеет порядок , потому что требуется по крайней мере шаров радиуса r, чтобы покрыть единичный квадрат. Аналогично, для единичного куба значение имеет порядок .

Определение. Если X – вполне ограниченное метрическое пространство, тогда число называется энтропийной размерностью пространства X .

В англоязычной литературе для энтропийной размерности используют термин «box dimension».

Пример 3.3. Если , то .

Если , то .

Если , то

.

Пример 3.4. Найдем энтропийную размерность для менее тривиальных пространств.

1. Троичное канторово множество. Если С – троичное канторово множество, то (см. табл. 3.1) и

.

В табл. 3.1, приведены данные, помогающие понять логику вычисления размерности троичного канторова множества.

Таблица 3.1

	i	r
	0	1	1
	1	1/3
	2
	3

2. Ковер Серпинского. Для квадратного ковра Серпинского S и

.

Для треугольного ковра Серпинского подобным способом получаем, что его энтропийная размерность равна .

3. Снежинка Коха. Для снежинки Коха К мы имеем , так как ее можно покрыть шарами с центрами на ребрах i-го многоугольника. Таким образом, .

3.5. Фрактал Мандельброта

Существует бесконечное множество различных фракталов. Один из них носит имя Мандельброта. Фрактал Мандельброта – это множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность

, (3.2)

при начальном условии , не уходит в бесконечность.

Рис. 3.6. Фрактал Мандельброта

Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида (3.2). Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании (3.2).

Фату нашел, что орбита при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований – своё для каждого значения c. В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер. Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта – один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Если использовать обозначения и , где – мнимая единица, то итеративная последовательность (3.2) преобразуется в:

(3.3)

На рис 3.6. показан графический образ фрактала Мандельброта (на комплексной плоскости). Как обычно, действительная ось расположена горизонтально, а мнимая – вертикально. Закрашенная черным область – это и есть множество Мандельброта. Оттенки белого и голубого соответствуют его дополнению к множеству комплексных чисел. Белым цветом обозначены точки с координатами p и q, которые достаточно «медленно» уходят в бесконечность, синим цветом – точки, которые «быстро» уходят в бесконечность.

Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём, самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой.

Чтобы построить изображение фрактала Мандельброта, подобное тому, что показано на рис. 3.6, необходимо использовать алгоритм (3.3) и теорему Фату. Сравнение с числом 2 (в англоязычной литературе его называют «bail-out») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе.

Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально возрастает и время расчётов.

Строго математически, изображение множества Мандельброта должно быть чёрно-белым. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, равный количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля.