3.2. Ковер Серпинского и снежинка Коха

Ковер Серпинского получается из единичного квадрата удалением средней части (1/3, 2/3)*(1/3, 2/3), затем удалением из каждого квадрата (i/3, i+1/3)*(j/3, j+1/3) среднего квадрата и т.д. (рис. 3.3). Можно также начать построение равностороннего треугольника с горизонтальным основанием и разделить его на четыре конгруэнтных (идентичных) равносторонних треугольника, центральный из которых имеет горизонтальную верхнюю сторону. Затем мы удаляем этот центральный треугольник и продолжаем построение, оставляя каждый раз по три треугольника.

Рис. 3.3. Квадратный и треугольный ковры Серпинского

Трехмерный вариант ковра Серпинского (губка Серпинского или кривая Менгера) получается из заполненного единичного куба, если вырезать в его центре полый куб со стороной 1/3, а затем двадцать шесть определенным образом расположенных полых кубов со стороной 1/9 и т.д.

Снежинка Коха получается из равностороннего треугольника, если поставить на каждую его сторону равносторонний треугольник, основание которого есть средняя треть стороны, а затем продолжать этот процесс итерационно со сторонами получающегося многоугольника (рис. 3.4). Эта конструкция была предложена Хельге фон Кохом (1904 г.).

Рис. 3.4. Снежинка Коха

С математической точки зрения снежинка Коха – это линия. Однако эта линия обладает необычными свойствами. Как бы мы ни увеличивали масштаб, на этой линии всегда будут неровности. Поэтому провести касательную к такой линии невозможно. Следовательно, функция, имеющая график в виде снежинки Коха, не имеет производных.

И троичное множество Кантора, и ковер Серпинского, и снежинка Коха образуются в результате бесконечного итерационного процесса. Далее в этой главе будет показано, что такие объекты имеют дробную размерность (в отличие от гладких линий, гладких поверхностей и т.п., которые имеют целочисленные размерности). Понятие дробной размерности впервые ввел известный немецкий математик Феликс Хаусдорф (1868-1942) в начале 20 века. Поэтому описанные в данном разделе объекты называют фракталами (от англ. fractal – дробная размерность).

3.3. Стохастические фракталы

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, поверхности скал, изрезанные береговые линии. В принципе, снежинка Коха очень похожа на природный объект (обычную снежинку), хотя это не стохастический фрактал.

В 1977 году в свет вышла книга американского математика Бенойта Мандельброта (1924-2010) «Фрактальная геометрия природы», в которой этот ученый привлек внимание широкой общественности к потрясающей красоте мира фракталов.

Графики случайных процессов, которые можно наблюдать на дисплеях приборов или на лентах самописцев, также является фракталами. Такие графики академик Яков Борисович Зельдович (1914-1987), полушутя, называл «толстой линией». В своей работе (Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика// Успехи физических наук, Том 146, вып. 3, июль 1985. – 493-574.) Зельдович привел пример модели такой линии

, (3.1)

где – последовательность независимых случайных чисел, равномерно распределенных между 0 и (случайный параметр). Ряд (3.1) сходится при . Однако обычной производной у функции в этом случае нет, поскольку соответствующий ряд расходится при . Таким образом, очевидно, что к функциям с не слишком быстро убывающим спектром идеи анализа применимы не в полной мере.

Рис. 3.5. Стохастический фрактал в различных масштабах

На рис. 3.5 показаны графики функции , построенные в MathCAD для различных интервалов изменения аргумента. При построении графиков использовался алгоритм

,

где – функция, генерирующая случайные числа, равномерно распределенные в диапазоне от 0 до 1. Как можно видеть, фрактальная кривая единообразно устроена в широком диапазоне масштабов.