Лекция № 8. Числа фибоначчи и простые числа

1. Задача Фибоначчи

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.

Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.

Очевидно, что фермер имеет одного кролика в первый месяц и одного кролика – во второй месяц. На третий месяц будет уже два кролика, на четвертый – три и т.д. Обозначим количество кроликов в n месяце как . Таким образом, , , , , , …

Можно построить алгоритм, позволяющий найти при любом n.

Согласно условию задачи общее количество кроликов в n+1 месяце раскладывается на три составляющие:

• одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве

;

• кролики, способные к размножению, в количестве ;

• новорожденные кролики, их количество также равно .

Таким образом, получим

. (8.1)

Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …

Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи.

Если принять и , то с помощью формулы (8.1) можно определить все остальные числа Фибоначчи. Формула (8.1) называется рекуррентной формулой (recurrence – «возвращение» на латыни).

Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?

Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.

В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Для того чтобы ответить на заданный вопрос при произвольном n, обозначим количество вариантов как , и попробуем определить по известным и . Если мы стартуем с единичного шага, то имеем комбинаций для оставшихся n ступенек. Если стартуем с двойного шага, то имеем комбинаций для оставшихся n–1 ступенек. Общее количество вариантов для n+1 ступенек равно

. (8.2)

Полученная формула как близнец напоминает формулу (8.1). Тем не менее, это не позволяет отождествлять количество комбинаций с числами Фибоначчи . Мы видим, например, что , но . Однако имеет место следующая зависимость:

.

Это справедливо для n = 1, 2, и также справедливо для каждого n. Числа Фибоначчи и количество комбинаций вычисляются по одной и той же формуле, однако начальные значения , и , у них различаются.

Пример 8.2. Этот пример имеет практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования. Найдем число всех двоичных слов длины n, не содержащих несколько нулей подряд. Обозначим это число через . Очевидно, , а слова длины 2, удовлетворяющие нашему ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е. . Пусть – такое слово из n символов. Если символ , то может быть произвольным ( )-буквенным словом, не содержащим несколько нулей подряд. Значит, число слов с единицей на конце равно .

Если же символ , то обязательно , а первые символа могут быть произвольными с учетом рассматриваемых ограничений. Следовательно, имеется слов длины n с нулем на конце. Таким образом, общее число интересующих нас слов равно

.

С учетом того, что и , полученная последовательность чисел – это числа Фибоначчи.

Пример 8.3. В примере 7.6 мы нашли, что число двоичных слов постоянного веса t (и длиной k) равно . Теперь найдем число двоичных слов постоянного веса t, не содержащих несколько нулей подряд.

Рассуждать можно так. Пусть число нулей в рассматриваемых словах. В любом слове имеется промежутков между ближайшими нулями, в каждом из которых находится одна или несколько единиц. Предполагается, что . В противном случае нет ни одного слова без рядом стоящих нулей.

Если из каждого промежутка удалить ровно по одной единице, то получим слово длины , содержащее нулей. Любое такое слово может быть получено указанным образом из некоторого (и притом только одного) k-буквенного слова, содержащего нулей, никакие два из которых не стоят рядом. Значит, искомое число совпадает с числом всех слов длины , содержащих ровно нулей, т.е. равно .

Пример 8.4. Докажем, что сумма равна числам Фибоначчи для любого целого . Символ обозначает наименьшее целое число, большее или равное . Например, если , то ; а если , то . По-английски эту операцию называют ceil («потолок»). Также встречается символ , который обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное . По-английски эту операцию называют floor («пол»).

Если , то . Если , то . Если , то .

Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:

.

И оно действительно выполняется:

Здесь мы использовали полученную ранее формулу (4.4): .