Лекция № 7. Комбинаторика

1. Введение

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Раздел математики, который их изучает, называется комбинаторикой.

Одними из наиболее важных понятий комбинаторики являются размещения и сочетания.

Способ расположения в определенном порядке некоторого числа элементов из заданного множества, когда существенна последовательность выбора элементов, называется размещением. Если же последовательность выбора элементов несущественна, то способ выбора называется сочетанием.

Пример 7.1. Дано множество S, состоящее из трех элементов: a, b, c. Необходимо определить количество комбинаций по два элемента из представленных трех.

1. Повторение элементов не допускается:

а) существует 6 размещений (ab, ac, ba, bc, ca, cb);

б) существует 3 сочетания (ab, bc, ca).

2. Повторение элементов разрешается:

а) существует 9 размещений (ab, aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc);

б) существует 6 сочетаний (aa, ab, ac, bb, bc, cc).

2. Размещения без повторений

Общее число размещений без повторений из n элементов по k элементов обычно обозначается так: .

Теорема 7.1.

. (7.1)

Доказательство. Задача сводится к заполнению k пустых мест символами элементов (рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Первое место можно заполнить n различными способами, поскольку имеется n элементов, и повторения не допускаются. Второе место n – 1 способами, поскольку один элемент уже задействован. Третье место n – 2 способами, поскольку два элемента уже задействованы и т. д. Последнее k-тое место можно заполнить различными способами. Общее количество размещений будет равно произведению способов заполнения каждого из k мест.

Следствие. При n = k

Размещение (при n = k) называется перестановкой.

Пример 7.2. Если дано множество, состоящее из трех элементов: a, b и c, то количество размещений по два элемента равно , что соответствует результату, приведенному в примере 7.1.

3. Сочетания без повторений

Число различных сочетаний без повторений обычно обозначается так: . Или так .

Теорема 7.2. (7.2)

Доказательство. Очевидно, что , поскольку одному сочетанию элементов соответствует несколько размещений, а именно: .

С учетом формулы (7.1) формулу (7.2) можно записать следующим образом:

. (7.3)

Таким образом, сочетания без повторений и биномиальные коэффициенты являются равнозначными понятиями.

Пример 7.3. Если дано множество, состоящее из трех элементов: a, b и c, то количество сочетаний по два элемента равно: . Это соответствует результату, приведенному в примере 7.1.

4. Размещения с повторением

Если мы выбираем из множества n элементов размещения с повторениями k элементов, то в данном случае k может превосходить n.

Теорема 7.3. Общее число размещений с повторениями k элементов, взятых из совокупности n различных элементов, равно . Доказательство. Задача сводится к заполнению k пустых мест символами n элементов. Каждое место можно заполнить n различными способами, поскольку повторения допускаются. Общее количество размещений будет равно произведению способов заполнения каждого из k пустых мест, то есть: .

Пример 7.4. Максимальное число знаков, которые могут быть представлены с помощью k двоичных символов (k бит), равно числу размещений с повторением из множества, содержащего всего два элемента 0 или 1. Например, если k = 8 (один байт), то =256.

Пример 7.5. Код Бодо (Жан Морис Эмиль Бодо (1845-1903) – французский изобретатель в области телеграфии) использует для кодирования два элементарных сигнала – импульс и паузу, при этом сопоставляемые буквам кодовые слова состоят из пяти таких сигналов. Значит, код Бодо способен передавать = 32 букв. Латинский алфавит содержит 26 букв. С помощью кода Бодо можно также передавать шесть дополнительных знаков, например: знак пропуска между словами, точку, запятую, вопросительный знак, восклицательный знак и двоеточие.

Пример 7.6. Часто по разным соображениям (например, по соображениям безопасности и помехозащищенности) для кодирования сообщений используют не все возможные последовательности в данном алфавите, а только некоторые из них, удовлетворяющие тем или иным ограничениям. Рассмотрим двоичные слова, состоящие из k букв, причем все они имеют фиксированное число t единиц (или, как говорят, слова постоянного веса t). Подсчитаем общее количество таких слов. Каждое из них получится, если мы выберем некоторым образом t позиций из k, и запишем в них единицы, а в остальных k – t позициях – нули. Значит, число всех слов постоянного веса совпадает с числом сочетаний из k элементов по t, т.е. равно

. (7.4)