6. Бином Ньютона для дробных и отрицательных показателей

Формула бинома Ньютона (6.1) для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона (1643-1727), но им в 1676 году была указана возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем (1802-1829) в 1826 году).

В этом, более общем, случае формула бинома Ньютона начинается так же, как и формула (4.1), биномиальным коэффициентом служит выражение:

,

которое в случае целого положительного n, обращается в нуль при всяком , вследствие чего формула (6.1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного (или отрицательного) n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если , то этот ряд сходится, т.е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к .

7. Гамма-функция

Биномиальная теорема определяет биномиальные коэффициенты через факториалы чисел n и k:

.

По сути, факториал является функцией аргумента n. Однако это дискретная (решетчатая) функция, определенная только при целых значениях аргумента n = 1, 2, … Поэтому формула (6.2) пригодна только для целых n.

Возникает вопрос: существует ли непрерывная функция непрерывного аргумента , которая в частных случаях целого аргумента  = n равнялась бы ? На этот вопрос следует дать положительный ответ. Такая функция существует и называется она гамма-функцией (Г-функцией). Эта функция обладает свойством: . Ее график приведен на рис. 6.3.

Гамма-функция определяется с помощью интеграла Эйлера:

,

где  > 0.

При   0 интеграл расходится. В этом интервале с помощью интеграла Эйлера гамма-функция не может быть определена. При  = 1 имеем:

.

Приняв в интеграле Эйлера x = t², получим

.

Приравняв  = 1/2 , имеем

.

Рис. 6.3. График гамма-функции

Применим к интегралу Эйлера формулу интегрирования по частям: , полагая ; ; ; .

.

Это основная формула приведения для Г-функции. Из нее следует, что

.

Применив эту формулу последовательно k раз, получим:

, ( – k > 0).

В математических справочниках значения гамма-функции обычно даются лишь для величин v, лежащих в диапазоне 1 <  < 2. чтобы найти значение Г-функции в другом диапазоне, нужно использовать приведенную формулу. Для нахождения Г() при  > 2 мы должны выбирать целое k > 0 таким образом, чтобы выполнялось условия: 1   – k < 2.

Если  = n, где n > 0 – целое число, то

Г (n)=(n – 1)!

Применив формулу приведения для  = n + 1/2 и учитывая, что , получим

,

где (2n – 1)!! = .

До сих пор мы считали, что аргумент  функции Г() больше нуля. Доопределим теперь функцию гамма для отрицательных значений аргумента. Учитывая формулу приведения, запишем:

.

Положим = ^*, тогда

.

Обозначив в последней формуле ^* снова через , получим

.

Если  + k > 0 и … (k = 1, 2, 3,...), то правая часть формулы имеет смысл и при  < 0. Последнюю формулу принимают за определение гамма-функции при отрицательных значениях аргумента . Очевидно, она не существуют при целых отрицательных значениях  (при таких значениях  она обращается в бесконечность).

Теперь мы можем обобщить биномиальную теорему на случай действительных (и даже комплексных чисел).

Теорема 6.2. Пусть – произвольное комплексное число. Тогда для любого комплексного числа , удовлетворяющего условию , справедливо

, (6.3)

где .

Пример 6.1. Приведем примеры некоторых биномиальных разложений, полученных с помощью формулы (6.3):