Лекция № 6. Математическая индукция

1. Сумма нечетных чисел

Математическая индукция играет огромную роль в дискретной математике (именно в силу ее дискретного характера). Полученные этим методом доказательства в данной области математики почти столь же надежны, как и те, что выведены дедуктивным путем. Начнем с вопроса: «Что мы получим, если просуммируем первые n нечетных чисел?». Непосредственные вычисления дают следующий результат.

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

1+3+5+7+9+11 = 36

1+3+5+7+9+11+13 = 49

1+3+5+7+9+11+13+15 = 64

1+3+5+7+9+11+13+15+17 = 81

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 100

Можно заметить, что в каждом случае сумма равна . Так ли будет для всех остальных случаев при любом n? Для доказательства этого необходимо применить метод математической индукции, который заключается в следующем.

Допустим, что мы хотим доказать какое-либо свойство для любых положительных целых чисел: . Также предположим, что мы можем доказать два факта:

(а) единица имеет это свойство, и

(б) если n – 1 имеет это свойство, то n также обладает этим свойством. Принцип математической индукции утверждает, что если верны пункты (а) и (б), то каждое натуральное число обладает данным свойством.

Применим этот принцип к рассмотренному выше примеру суммы первых n нечетных чисел. Мы подозреваем, что эта сумма равна для любого n. То есть:

1+3+…+ (2n–3) + (2n–1) = .

Единица обладает этим свойством: . Допустим, что n–1 также обладает этим свойством. Тогда можем записать:

.

Добавляя к этой сумме член (2n–1), получим:

,

что и следовало доказать.

2. Сумма натуральных чисел

А теперь используем метод индукции для доказательства того, что сумма первых n положительных целых чисел равна . Если n = 1, то , т.е. единица обладает указанным свойством. Предположим, что сумма первых n – 1 натуральных чисел также обладает этим свойством, т.е. она равна: . Прибавив к этой сумме число n, получим:

.

Таким образом, сумма первых n положительных целых чисел также обладает указанным свойством. Значит, мы можем утверждать, что данная формула справедлива для любого натурального n.

Необходимо заметить, что метод индукции позволяет проверять уже известные формулы, но не позволяет выводить новые формулы. Для получения новых формул приходится напрягать творческие способности. Приведем следующий исторический пример.

Карл Фредерик Гаусс (1777-1855), один из наиболее великих математиков всех времен и народов, учился в начальной школе, когда его учитель задал классу задачу просуммировать все целые числа от 1 до 1000, он рассчитывал на час отдыха, пока его ученики будут заняты делом. Каково же было его удивление, когда Гаусс почти мгновенно получил правильный ответ! Его решение было предельно простым: суммируя первое число с последним, он получил 1 + 1000 = 1001; суммируя второе с предпоследним: 2 + 999 = 1001 и т.д. Всего сумм, равных 1001, получилось пятьсот. Таким образом, ответ равен: 500 · 1001 = 1000 · 1001/2 = 500500.