4. Операции над множествами

Обычно рассматриваются следующие операции над множествами:

• Объединение: .

• Пересечение: .

• Разность: .

• Симметрическая разность:

.

• Дополнение: .

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум:

.

• Декартово произведение множеств:

.

Декартово произведение двух множеств и есть множество всех упорядоченных пар (x, y), где и .

Пример 5.2. Пусть , . Тогда

, , , .

На рис. 5.1 приведены диаграммы Эйлера, иллюстрирующие операции над множествами. Сами исходные множества изображаются геометрическими фигурами (бесконечные множества точек на плоскости), результат выделяется с помощью штриховки.

Рис. 5.1. Диаграммы Эйлера

5. Свойства операций над множествами

Пусть задан универсум . Тогда выполняются следующие свойства.

1. Инволютивность:

;

2. Идемпотентность:

, ;

3. Коммутативность:

, ;

4. Ассоциативность:

, ;

5. Дистрибутивность:

, ;

6. Поглощение:

, ;

7. Свойство нуля:

, ;

8. Свойство единицы:

, ;

9. Законы де Моргана:

, ;

10. Свойства дополнения:

, ;

11. Выражение для разности:

.

6. Булеан

Множество всех подмножеств множества называется булеаном.

Теорема 5.1. Множество из n элементов имеет подмножеств.

Доказательство: Эту теорему можно доказать разными способами (так же, как и многие другие теоремы). Мы докажем ее, используя бинарные представления чисел. Предположим, что мы имеем множество из трех элементов . Каждое подмножество этого множества зашифруем с помощью бинарного кода. Этот код будет состоять из трех бит (по количеству членов исходного множества). Если в рассматриваемом подмножестве присутствует элемент , первому биту кода присваиваем значение единицы, в противном случае – нуля. Если в подмножестве присутствует элемент , второму биту присваиваем значение единицы, в противном случае – нуля. Если в подмножестве присутствует элемент , третьему биту присваиваем значение единицы, в противном случае – нуля. Рассматривая все возможные подмножества исходного множества , включая пустое множество , получим следующий результат.

Как можно видеть, подмножества множества соответствуют восьми числам: 0, 1, …, 7. Мы рассмотрели все бинарные комбинации в пределах трех бит. Как известно, количество таких комбинаций равно .

Применяя данный метод к множеству из четырех элементов, получим количество подмножеств: . Для множества из пяти элементов: . Обобщая эти результаты, приходим к выводу, что множество из n элементов имеет подмножеств.

7. Проблема континуума

Кантор был первым, кто стал рассматривать мощности (кардинальные числа) бесконечных множеств. Мощность счетного множества он обозначил древнееврейской буквой «алеф» с нулевым индексом: . Мощность множества действительных чисел, называемую также мощностью континуума, обозначил как: . Известно, что кардинальное число больше кардинального числа . В начале 80-х годов 19 века Кантор высказал гипотезу о том, что ближайшей следующей за мощностью является мощность континуума . Обобщенная континуум-гипотеза гласит, что для любого множества первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества . Таким образом, , , …