Лекция № 5. Множества и подмножества

1. Задание множеств

Если объект является элементом множества , то говорят, что принадлежит . Обозначение . В противном случае говорят, что не принадлежит . Обозначение .

Множество, не содержащее элементов, называется пустым. Обозначение: .

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами.

• Перечислением элементов: .

• Характеристическим предикатом: .

• Порождающей процедурой: .

При задании множеств перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми. Характеристический предикат (от латинского praedicatum) – это некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения, возвращающего логическое значение. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Порождающая процедура – это процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определяемого множества.

Пример 5.1. ;

;

.

2. Парадокс Рассела

Задание множеств характеристическим предикатом может приводить к противоречиям. Например, все рассмотренные в примерах множества не содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: .

Если множество существует, то мы должны иметь возможность ответить на следующий вопрос: ? Пусть , тогда . Пусть , тогда . Получается неустранимое логическое противоречие, которое известно как парадокс Рассела. Существует три способа избежать этого парадокса.

1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом

где – известное, заведомо существующее множество (универсум). Обычно при этом используют обозначение . Для универсум не указан, а потому множеством не является.

2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества имеют тип 1, множества множеств – тип 2 и т.д. не имеет типа и множеством не является.

3. Характеристический предикат задан в виде вычислимой функции (алгоритма). Способ вычисления значения предиката не задан, а потому множеством не является.

Последний из перечисленных способов лежит в основе так называемого конструктивизма – направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения некоторые понятия и методы классической математики, чреватые возможными парадоксами.

3. Сравнение множеств

Множество содержится в множестве , если каждый элемент есть элемент . Записывается это следующим способом: . В этом случае называется подмножеством . Если и , то называется собственным подмножеством .

Мощность множества обозначается как . Для конечных множеств мощность – это число элементов. Например, , но . Если , то множества и называются равномощными.

Иногда в литературе вместо мощности множества используется другой равнозначный ему термин: кардинальное число множества (от латинского cardinalis – главный). Этот термин был введен Георгом Кантором.